ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Линейные (векторные) пространства из "Методы линейной алгебры в физической химии" Определение. Множество элементов х, г/. называется линейным (или векторным) пространством 91, если для его элементов определены две операции сложения и умножения на число (из некоторого поля чисел ), причем эти операции всегда выполнимы в и однозначны. [c.45] Пример 2. Множество всех непрерывных функций 1), заданных на отрезке также образует линейное пространство, поскольку сумма двух непрерывных функций и произведение непрерывной функции на число есть вновь непрерывная функция. Все аксиомы Г—8° при этом выполняются. [c.48] Сложение векторов тогда сводится к поэлементному сложению вектор-столбцов, умножение на число а — к умножению на а каждого элемента вектор-столбца. [c.48] Это пространство, очевидно, будет таким же, как и линейное пространство матриц размера 3X1. [c.48] Будем его далее обозначать через О, поскольку обычно всегда бывает ясно, о векторе или о числе идет речь. [c.49] Векторы Х , для которых выполняется соотнощение типа (5.10) с аг О называются линейно-зависимыми. [c.49] Согласно (5.12) вектор Х1 выражается линейно через векторы х , х. . [c.50] если векторы Х, Хг. х, линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Наоборот, если один из векторов является линейной комбинацией остальных, то в совокупности эти векторы линейно зависимы. Максимальное число п линейно независимых векторов пространства определяет размерность пространства Если п — конечно, то пространство называется конечномерным, в противном случае — бесконечномерным. Из пространств, обсуждавшихся в примерах, первое, третье и четвертое — конечномерны (первое и третье — трехмерны), второе — бесконечномерно. [c.50] Теорема. Разложение вектора x no системе базисных векторов единственно. [c.51] Как было показано, при заданном базисе координаты вектора определяются однозначно, так что набор координат вектора полностью характеризует сам вектор при условии, что базис известен. [c.51] Базис из Е,- в пространстве называется каноническим. [c.52] Преобразования векторов, рассмотренные выше, осуществлялись с помощью неособенных матриц. Возникает вопрос, что собой представляют подобные же преобразования, но осуществленные с помощью особенных матриц. Пусть А — некоторая квадратная особенная матрица. Подействуем этой матрицей на векторы канонического базиса в пространстве и обозначим полученные векторы через У,. [c.55] Это равенство играет большую роль во многих задачах линейной алгебры. Оно позволяет при переходе от одного базиса к другому выяснить, как связаны в этих базисах матрицы любого линейного преобразования векторов пространства Преобразование вида (5.27) носит название преобразования подобия. [c.59] Таким образом, матрица А, представляющая преобразование в новом базисе,, уже теряет свой диагональный вид. [c.59] Вернуться к основной статье