ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Некоторые методы решения систем линейных уравнений из "Методы линейной алгебры в физической химии" СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. [c.71] Большое практическое значение имеет обратная задача, когда при заданном преобразовании А и векторе X требуется определить вектор X. Решению этой задачи и будет посвящена данная глава. [c.71] Обычно при формулировке обратной задачи используют следующие обозначения и терминологию. Вектор-столбец X так и обозначается через X и называется вектором неизвестных, а его компоненты (координаты) х,- — неизвестными. Вектор-столбец X называется свободным членом, или вектор-столбцом свободных членов и обозначается через V, а его компоненты через Уг. Матрица А называется матрицей коэффициентов, а ее элементы ац — коэффициентами системы. [c.71] Линейная алгебраическая система называется совместной, если у нее есть хотя бы одно решение. [c.72] Если у системы нет ни одного решения, она называется несовместной. [c.72] Равенство (1.6) выражает вектор неизвестных через известный вектор У и известную матрицу А- , получаемую обращением А. Это равенство есть явное выражение для решения определенной системы. Обратная матрица, как было показано в 1, гл. 1, единственна, поэтому единственно и решение определенной системы. Для однородной системы У=0, так что и Х=0, т. е. однородная определенная алгебраическая система имеет лишь так называемое тривиальное решение все неизвестные равны нулю. [c.73] Формулы (1.8), выражающие неизвестные как отнощение двух определителей л-го порядка, носят название формул Крамера. Для практического использования при достаточно больщих порядках определителей они мало пригодны, поскольку при этом необходимо вычислить (п-(-1) определитель. С другой стороны, для выяснения общей структуры решения они очень полезны в силу своей наглядности. [c.74] Это выражение показывает, что в случае недоопределенной системы, когда число уравнений т меньше числа неизвестных п, но ранг А равен т, можно единственным образом (в силу единственности Ат ) выразить какие-либо т неизвестных, для которых соответствующий минор матрицы А имеет порядок т, через остальные п—-т неизвестных. Придавая этим последним произвольные фиксированные значения, мы будем получать соответствующие значения для неизвестных XI, л 2,. .., х г- Недоопределенная система имеет бесконечное множество решений, среди которых всегда можно выбрать I линейно независимых Х (й=1, 2,. .., /), где 1=п—т при =0 и I— = п—т+1 при У =7 0. [c.75] Если бы =0, то система имела бы только тривиальное решение. [c.76] Используя методику определения ранга, изложенную в 4 гл. 1, получим, что р (А ) =3. [c.76] Следовательно, ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы коэффициентов, что говорит о том, что система несовместна. [c.76] Любое другое решение можно записать как линейную комбинацию этих трех с произвольными коэффициентами с,, с, и Сд, удовлетворяющими соотношению С1 + С2+Сз=1. [c.77] Теперь, после рассмотрения примеров, мы можем продолжить изучение линейных алгебраических систем и их решений. Вернемся вновь к недоопределенным системам. Матрица коэффициентов А размера тХп тсп) и ранга т такой системы переводит векторы X л-мерного пространства 3 в векторы V /п-мерного пространства 31т. С другой стороны, любая матрица С размера пХ Хт переводит векторы У е 31 в векторы Хе 91 . При заданном V и различных матрицах С будут получаться различные векторы X. Выберем такую матрицу С ранга т, которая переводит некоторый вектор У е 3 , в одно из независимых решений Х рассматриваемой недоопределенной системы. [c.77] Выясним теперь некоторые свойства полученного выражения (1Л7). [c.78] Вектор X является нормальным решением (1.28). Его длина (X, X) 0,718. [c.81] Выбор нормы определяет матрицу С при заданной норме нужно найти такую матрицу С , чтобы ЦУЦ была минимальна. Естественно, что таких матриц может найтись не одна, так что будет несколько наилучших приближений. В 6, гл. 1 были введены три нормы. Посмотрим более внимательно, что они дают при определении наилучшего приближения. [c.83] Задача отыскания наилучшего приближения называется здесь задачей чебышевского приближения несовместной системы уравнений. Ее решение будет рассмотрено в 4. [c.85] Записывая каждый набор коэффициентов Сц (1=, 2,. .., к) в виде вектор-столбца, мы и получим матрицу С, ранг которой равен к, поскольку в ней содержится к столбцов, которые отвечают независимым векторам А/,,. .., А,- и представляют собой различные единичные векторы. Таким образом, представление А в виде произведения В и С (1.49) всегда возможно. [c.86] Матрица С( )В(- ), как нетрудно убедиться, используя определяющие уравнения (1.24), является псевдообратной для А. [c.86] Вернуться к основной статье