ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Метод возмущений из "Введение в квантовую химию" О втором методе рассмотрения задач, которые не решаются непосредственно, мы уже упоминали на стр. 48, где мы показали, что можно рассчитать приблизительную форму и частоты нормальных колебаний натянутой струны, подверженной небольшому возмущению, а именно изме-Н01ШЮ плотности или натяжения струны. Изложенная там теория легко обобщается и распространяется на другие случаи на основе результатов теории Штурма — Лиувилля. Однако метод рассмотрения зависит от того, является ли возмущенное нормальное колебание вырожденным или невырожденным. Рассмотрим сначала теорию возмущений для невырожденных колебаний. [c.96] мы использ) ем то обстоятельство, что и о образуют полный набор, так что можно разложить ы,, , //, 1 и т. д. по и,, . [c.97] Если и нормированы, то, как мы покажем ниже. [c.99] Продолжая идти указанным путем, можно в случае необходимости найти и возмущения более высоких порядков. [c.99] Если этот интеграл должен быть нормирован при всех значениях у, то коэффициенты при у и у должны обрап1аться в нуль. Это приводит к (В-12а) и (В-16а). [c.99] Для того чтобы проиллюстрировать применение этих результатов, рассмотрим натянутую струну, которая первоначально была однородной по плотности бо и натяжению Т,,. К ней прилагается возмущение, состоящее в равномерном увеличении плотности д и равномерном увеличении натяжения Т. Уравнение нормальных колебаний невозмущенной струны имеет вид [см. уравнение (А-22) в гл. 2]. [c.99] Разложив его в ряд Тейлора по степеням g и Т, можно показать, что оно согласуется с решением, найденным с помощью теории возмущений, учитывающей члены второго порядка. [c.100] Упражнения. 1. Найдите поправки третьего порядка к п и. . [c.100] Как мы видели на стр. 62, если возмущение налагается на группу вырожденных колебаний, корреляцию можно установить, только выбрав из бесконечного числа возможных комбинаций некоторую определенную комбинацию вырожденных колебаний. Таким образом, в случае вырожденных колебаний задача оказывается сложнее рассмотренной выше, так как, помимо функций Ип-.. и постоянных Х п, X ,. .., в уравнениях (В-4) и (В-5) следует еще найти нужную линейную комбинацию вырожденных невозмущенных функций. [c.100] Вернемся теперь к (В-27) и решим эту систему относительно Су. Подставим одно из значений корней Ки в (В-27) и разделим все уравнения на С . Это приводит к / уравнениям относительно I — 1) отношений (с /с ), которые могут быть решены без особого труда. Эти решения приводят при (В-20) к одной из правильных линейных комбинаций вырожденных колебаний нулевого порядка . [c.102] Эта процедура повторг1ется для каждого из I корней векового уравнения Ini И приводит к I наборам коэффициентов j. Так можно найти все правильные комбинации нулевого порядка. [c.102] Метод возмущений, изложенный выше для вырожденного и невырожденного случаев, является в действительности обобщенным методом нахождения степени гибридизации нормальных колебаний под действием возмущения. Интересно отметить, что вследствие наличия в знаменателях равенств (В-12) и (В-16) величин типа (А- о — гибридизация происходит в наибольшей степени, и велики (между колебаниями, собственные частоты которых близки одна к другой), близко к и В пределе = = мы имеем случай вырождения, и гибридизация между вырожденными уровнями почти полная [равенство (В-20)], если возмущение бесконечно мало. [c.103] Заметьте, что L( можно рассматрнвап, как опе )атор Штурма —Лиувилля в отношении каждой из дву.ч координат 6 и р. [c.103] Начните с вырожденных функций и и. , приведенных в предыдущем упражнении. [c.104] Вернуться к основной статье