ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Выделение показательных функций из "Механическое поведение полимерных материалов" Эти замечания весьма компетентного специалиста должны заставить нас задуматься о том, насколько надежны времена релаксации , определяемые по экспериментальным данным во многих работах. Прежде всего нужно знать, для чего определены времена релаксации. Если речь идет только об экспоненциальной аппроксимации, т. е. о выборе некоторого аналитического выражения, описывающего данный экспериментальный материал с заданной точностью, то опасаться нечего, так как аппроксимация обеспечивает математическую эквивалентность исходным данным. Если же временам релаксации пытаются придать физический смысл, то нужно соблюдать большую осторожность, чтобы обеспечить точность определения времен релаксации. [c.153] Обратимся к задаче о числе экспонент в сумме (5.28). В работе [28] указан способ определения числа экспонент, основанный на хорошо известной теореме исчисления конечных разностей (см., например, [29]). Приведем эту теорему без доказательства. [c.155] ХОТЯ бы для одного значения х . [c.155] Определитель из уравнения (5.37) имеет порядок п + 1. В эТот определитель входит (2/г + 1) равноотстоящих значений функции f х). В упомянутой выше работе указано, что условие (5.38) может быть заменено условием положительности определителя порядка ниже я + 1. Это следует из того, что все частоты %1 — действительные числа, а амплитуды Л,- положительны. Указание полезно для практических вычислений. [c.155] Уравнение (5.37) удовлетворяется только в том случае, если в определитель входят точные значения функции / (х). Экспериментально мы получаем всегда приближенные значения. Поэтому вычисления определителя следует вести до тех пор, пока он не изменит положительный знак на отрицательный. Если определитель имеет положительное, но близкое к нулю значение, то это указывает на то, что рассматриваемое число экспонент достаточно для описания данного множества значений функции. [c.155] Пример. В табл. 4 даны 24 значения равноотстоящих ординат кривой релаксации. Изменение ординат охватывает примерно два с половиной десятичных порядка, тогда как интервал изменения времени охватывает немногим больше одного десятичного порядка. Интервал изменения времени в рассматриваемом примере следует считать недостаточным для надежного определения суммы экспонент. [c.155] Такой интервал времени в примере взят для большей наглядности результатов вычислений. [c.156] Прежде всего экспериментальные данные следует построить на полулогарифмической бумаге. Если такой бумаги нет, нужно построить на обычной миллиметровой бумаге точки с координатами х и lg / (дг). Это делается для того, чтобы проверить, нельзя ли описать заданные значения функции / [х) с помощью только одной экспоненты, как описано выше. Для реальных материалов обычно это возможно с достаточной точностью только в небольшом интервале изменения времени.. Поэтому такое описание редко имеет практическое значение. Если интервал изменения времени охватывает более шести десятичных порядков, экспериментальные данные следует построить на логарифмической бумаге или на обыкновенной миллиметровой бумаге построить точки с координатами л и lg (л ). Такое построение иногда позволяет разделить экспоненты или выделить группы экспонент. [c.156] Важно определить, какие значения функции / х) нужно использовать для возможно более точного определения показателей и амплитуд. Если взять слишком близкие ординаты,.то разности между ними будут малы и могут оказаться целиком внутри точности определения ординат. Если же взять слишком удаленные друг от друга ординаты, то некоторые экспоненты оказываются настолько ослабленными, что их невозможно будет выявить. [c.156] Хотя определитель третьего порядка имеет положительное значение, вычисление определителя более высокого порядка уже не имеет смысла, так как мы подошли к границе точности исходных данных. Поэтому определитель четвертого порядка либо будет отрицательным, либо отличающимся от нуля на величину, меньшую точности исходных данных. [c.157] Можно считать, что выделение показательных функций дало удовлетворительный результат. В работе [8] дан пример, близкий по числовым значениям к рассмотренному здесь. Там не удалось даже правильно определить число показательных функций. Вместо трех показательных функций выделяются только две функции. Это объясняется тем, что в нашем примере точность исходных данных на порядок больше, и интервал времени больше. Пример показывает, что выделение показательных функций требует большой точности исходных данных и значительного интервала времени наблюдения. Если условия не выполнены, то выделение показательных функций дает только эмпирическую формулу, удобную для компактного описания табличных данных, но лишенную физического смысла. Под физическим смыслом понимается определение постоянных по опытным данным с достаточной точностью. [c.158] Иногда выделение экспонент проводится совершенно элементарным способом. Так, например, в работе [30] указан очень простой приближенный способ определения дискретного спектра, хорошо соответствующего прямоугольной логарифмической плотности времен релаксации. Этот способ удобно рассмотреть на примере. [c.158] На рис. 59 видно, что расхождение между функциями релаксации становится значительным только для больших времен, когда функция релаксации имеет малые значения, которые могут быть определены экспериментально только с большой ошибкой. Поэтому расхождение несущественно, и приближение, которое получено заменой прямоугольной плотности двумя временами релаксации, следует считать удовлетворительным. [c.159] На рис. 60 даны графики действительной и мнимой частей комплексного динамического модуля, рассчитанные для прямоугольной логарифмической плотности и для двух времен релаксации. Как видно из приведенных графиков, хуже всего приближение для мнимой части комплексного динамического модуля. [c.159] Расхождение между двумя функциями релаксации опять заметны только для очень больших времен, т. е. для малых значений функций релаксации. На рис. 62 даны графики действительной и мнимой частей комплексного динамического модуля, наибольшее расхождение имеем для мнимых частей комплексного модуля. [c.161] Вернуться к основной статье