ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Теория подобия. Подобные преобразования из "Процессы и аппараты химической технологии Том1 Явления переноса макрокинетика подобие моделирование проектирование" Анализ процессов и расчет аппаратов химической технологии чаше всего основываются на изучении кинетических закономерностей этих процессов. При этом оказывается, что исследование самых различных процессов гидромеханических, тепло- и массообменных, химических, имеет много общего. Вопрос о природе этой общности, о физических причинах, которыми она обусловлена, подробно рассмотрен далее. Здесь лишь отметим то обстоятельство, что во всех случаях среда рассматривается как непрерывная (континуум) и для изучения происходящих в ней процессов применяется хорошо разработанный аппарат математической физики. [c.30] Поле является общей характеристикой процесса. Если оно известно, то не составляет труда получить все остальные частные характеристики. Если, например, рассчитано температурное поле в движущейся жидкости, то легко вычисляются значения тепловых потоков, локальных и средних коэффициентов теплоотдачи от твердой поверхности и т. п. Поэтому в основу математической теории процессов переноса, как правило, закладываются уравнения полей соответствующих физических величин. [c.31] К непосредственному выводу уравнения процесса можно приступать лишь в том случае, если имеется конкретное представление о его физическом механизме, о движущих причинах его развития. Эти представления формируются по мере накопления предварительных опытных данных. На их основе создается модель явления, отражающая наиболее существенные его черты и являющаяся продуктом рациональной схематизации реального процесса. После этого открывается возможность привлечь к исследованию соответствующие фундаментальные законы физики непосредственно или с помощью дополнительных гипотез. Чаще всего объект приложения этих законов — процесс, протекающий в бесконечно малый промежуток времени. Следует подчеркнуть, что величины х, йт и т. п. будут бесконечно малыми лишь в математическом смысле. Физически же они должны быть достаточно велики для того, чтобы среда могла считаться непрерывной. Так, для газов линейный размер, характеризующий бесконечно малый объем, должен быть большим по сравнению с длиной свободного пробега молекул, а промежуток времени — со временем свободного пробега и т. д. [c.31] Вывод основных уравнений требует такого уровня абстракции, при котором приходится отвлекаться от многих индивидуальных особенностей объекта исследования. Поэтому общий интеграл основного уравнения должен соответствовать не единичному явлению, а множеству разнообразных явлений, в том числе и весьма различающихся по внешнему виду. В простейщем случае обыкновенных дифференциальных уравнений эта многозначность отображается самой структурой интеграла, в состав которого входят произвольные константы интегрирования. Значения этих констант могут быть определены лищь с помощью некоторых дополнительных условий. Еще сложнее обстоит дело при рассмотрении уравнений в частных производных, решить которые часто в принципе невозможно без задания этих дополнительных условий. [c.32] Информация, которой должны быть дополнены основные уравнения, представляет собой условия единственности решения. Строгое аналитическое исследование этих условий крайне сложно, поэтому ограничимся рассмотрением некоторых общих соображений об их физическом содержании применительно к так называемым краевым задачам математической физики, которые особенно часто встречаются в теории процессов, изучаемых в прикладных науках. [c.32] Прежде всего следует учесть, что элементы, расположенные на границах системы, взаимодействуют с окружающей средой. Это взаимодействие никак не отражено в основных уравнениях задачи, поэтому необходимо дополнительно задать граничные условия. В основных уравнениях не отражена и предыстория процесса, поэтому аналогично предыдущему вводится понятие о начальных условиях. Граничные и начальные условия вместе составляют краевые условия (условия на пространственно-временных краях системы). Кроме того, для решения задачи существенны физические характеристики (свойства) системы, которые образуют совокупность ее постоянных параметров. Вводя в условие задачи фиксированные значения этих параметров, можно однозначно определить каждое конкретное единичное явление. [c.32] Чаще всего задаются граничные условия первого и второго рода — наборы значений искомой переменной и ее производной на границах системы в любой момент времени. В качестве граничных условий могут быть заданы также параметры окружающей среды и закон взаимодействия между системой и внешней средой граничные условия третьего рода). [c.32] Начальные условия обычно представляют собой распределение искомой величины по всему пространству системы в начальный момент времени. Разумеется, этим не исчерпываются все виды задания краевых условий. [c.33] Параметры входят в окончательное решение задачи в качестве аргументов, отражающих влияние собственных свойств системы, внешних условий, режимных факторов. Каждый параметр при этом должен рассматриваться как своего рода переменная, получающая новое значение при переходе от одного варианта задачи к другому. [c.33] Безразмерные степенные комплексы, составленные из величин, существенных для данного процесса, называются числами подобия. Число подобия, содержащее только заданные по условию задачи параметры, называется критерием подобия. Числа подобия (критерии подобия) обычно обозначаются первыми двумя буквами фамилий известных ученых, работавших в соответствующей области. Например, комплекс, входящий в уравнение (2.7), называется критерием Фурье Ро = аго/ ц. [c.34] Здесь берется только одно слагаемое, входящее в лапласиан температуры, так как он является однородным оператором и по своему существу есть единое действие, лишь формально представляемое как сумма нескольких операций. Такой оператор в целом приводится к одному степенному комплексу. [c.34] Число комплексов строго определяется постановкой задачи, но их конкретный вид может в известных пределах меняться в зависимости от выбора масштабов отнесения переменных. Если уравнение содержит несколько операторов, то их можно комбинировать попарно любым способом, получая каждый раз различный набор чисел подобия. Все эти совокупности комплексов, разумеется, полностью эквивалентны друг другу, если содержат одинаковое количество независимых чисел подобия. По этому поводу можно высказать и более общие соображения. [c.35] Пусть при обработке некоторого уравнения получены два критерия 7Г1 и 7Г2. Требование, чтобы они имели определенные значения, можно заменить любым другим, ему эквивалентным. Например, можно потребовать, чтобы имели фиксированные численные значения функции /1(тг1 7Г2) и 2)- Эти функции могут быть выбраны произвольно при одном ограничении они должны образовать систему, из которой значения тг1 и тг2 определяются однозначно. Иными словами, любая комбинация критериев подобия есть также критерий подобия. Практически наиболее значима возможность замещения критериев их степенными комбинациями. Например, решение задачи о теплоотдаче при вынужденном движении жидкости содержит, в частности, два критерия Рейнольдса Ке = Уо1о/и и Пекле Ре = ] о1о/а, числители которых одинаковы, а знаменатели различны. Если взять их отношение, то получится критерий Прандтля Рг = р/а, который имеет то преимущество, что не содержит характерных значений переменных и является безразмерной физической константой вещества. Разумеется, комбинации Ре, Ке Ре, Рг Ке, Рг вполне адекватны. [c.35] Однозначность получаемых зависимостей не нарушается и при комбинировании относительных переменных и критериев. Следовательно, произведение, включающее относительную переменную и любую комбинацию критериев подобия, само является относительной переменной. [c.35] Может создаться ситуация, когда в условиях единственности не задается характерного значения какой-либо переменной (искомой или независимой). При этом нельзя привести переменную г к относительному виду г/ о, и кроме того, теряет значение (статус) критерия комплекс, содержащий параметр го. Эту трудность легко преодолеть, комбинируя переменную и соответствующий критерий таким образом, чтобы исключить параметр го. В результате получается особая форма переменной, которая образуется путем отнесения ее текущего значения не к характерному, а к характеристическому значению этой переменной.Характеристическое значение переменной представляет собой степенную комбинацию из параметров, имеющую в совокупности ту же размерность, что и рассматриваемая переменная. Например, в задаче о нестационарном температурном поле в твердом теле, стремящемся к равновесию (апериодический процесс), не может быть задано по условию характерное значение времени. Поэтому здесь теряют смысл относительная переменная т/то и Ро = ото/ о- Чтобы исключить неизвестное значение то, достаточно взять произведение этих величин и получить соответствующее число подобия — число Фурье Ро = ат/11. [c.36] Таким образом, отсутствие соответствующего параметра (характерного значения) приводит к замене относительной переменной выражением комплексного вида и выпадению одного критерия. [c.37] Два явления называются подобными, если любую характеристику одного из них можно получить из аналогичной характеристики другого с помощью пропорционального (подобного) преобразования. Подобное преобразование решения задачи в целом предполагает умножение каждой из содержащихся в решении величин (искомая и независимые переменные, параметры) на некоторый постоянный, выбранный для этой величины множитель кг. [c.37] Уравнение (2.8) представляет собой обобщенное решение задачи, записанное в самой общей форме, так как им определяется лишь структура безразмерных комплексов и их число. В этом решении содержатся все частные решения, которые можно получить при возвращении к первоначальным абсолютным значениям переменных, и, следовательно, им охватываются все конкретные явления данного класса. Если же зафиксировать численные значения всех критериев (и комплексного, и параметрического типа), то из общего решения выделится обобщенный индивидуальный случай. Следует особо подчеркнуть, что фиксируются значения лишь критериев, а не всех без исключения чисел подобия. Что касается безразмерных независимых переменных, то их значения определяют выбор сходственных моментов времени (гомохронность) или сходственных точек в пространстве независимо от того, в какой форме они записываются — в относительной или комплексной. [c.37] Особенность обобщенного индивидуального случая заключается в том, что он получается как высшая возможная (в новых безразмерных переменных) ступень индивидуализации и при этом объединяет в себе бесчисленное множество индивидуальных конкретных случаев (в первоначальных абсолютных переменных), которые образуют группу подобных явлений. [c.37] При выполнении этого условия все рассматриваемые явления будут соответствовать одному и тому же обобщенному случаю, т.е. будут принадлежать к одной и той же группе подобных явлений. Иными словами, тождество в относительноморавносильно подобию в абсолютном . [c.38] Вернуться к основной статье