ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Инверсия и пучки окружностей Простейшие преобразования плоскости из "Инверсия" Идея преобразования одних геометрических фигур в другие будет играть основную роль в этой книге. В этом параграфе речь будет идти о фигурах на плоскости. Прежде всего уточним, что мы будем понимать под преобразованием геометрических фигур. Рассмотрим некоторую плоскость и пусть дан закон, с помощью которого каждой точке X этой плоскости ставится в соответствие точка X той же плоскости. Этот закон сопоставления называется преобразованием плоскости, а точка X, соответствующая точке X, называется ее образом. Ниже преобразования плоскости будем обозначать греческими буквами. Если Ф — преобразование плоскости, X — некоторая точка плоскости и X — ее образ относительно преобразований ф, то мы часто будем пользоваться обозначением Х = ф(Х) или просто ф(Х). [c.5] Пусть на плоскости задано преобразование ф и пусть Г — некоторая фигура на плоскости. Преобразование ф переводит каждую точку X фигуры Р в некоторую точку X —ее образ. Фигура Р, состоящая из совокупности всех образов точек фигуры Р, называется образом фигуры Р относительно преобразования ф. Фигуру Р мы часто будем обозначать также ф( ). Таким образом, преобразование ф переводит каждую фигуру Р на плоскости в ее образ-фигуру =ф( ) (рис. 1). [c.5] Как правило, точка и ее образ не совпадают. В том случае, когда точка X и ее образ — точка ф(Х) — совпадают, точка X называется неподвижной точкой преобразования ф. [c.5] Преобразование плоскости, сопоставляющее каждой точке плоскости X ее саму, называется тождественным. Другими словами, преобразование плоскости тождественно, если все точки плоскости относительно этого преобразования неподвижны. Тождественное преобразование плоскости будем в дальнейшем обозначать буквой е. [c.6] Пусть на плоскости задано некоторое преобразование ср. Фигура Р называется инвариантной относительно преобразования ф, если образ Р (F) совпадает с Р, т. е. [c.6] Рассмотрим более подробно простейшие преобразования плоскости. [c.6] Инвариантными фигурами относительно отражения в прямой I будут, во-первых, сама прямая I и, во-вторых, все фигуры, для которых осью симметрии является эта прямая. Несколько иивариаитных фигур изображено на рис. 4. [c.6] Все точки прямой I и только они являются неподвижными точками рассматриваемого нами преобразования. [c.6] С помощью векторов параллельный перенос описывается так пусть АВ — вектор с началом в точке А и концом в точке В, пусть, далее, X—произвольная точка плоскости и X — ее образ. Тогда векторы АВ и XX равны (рис. 6). [c.7] Поэтому параллельный перенос можно рассматривать как сдвиг каждой точки X на вектор, равный вектору АВ. [c.8] Если вектор АВ нулевой (точка А совпадаете точкой В), то параллельный перенос на вектор А В сводится к тождественному преобразованию. [c.8] Если а=0, то вращение сводится к тождественному преобразованию. [c.8] Если =1, то гомотетия сводится к тождественному преобразованию. Если кф, то единственной неподвижной точкой этого преобразования будет центр гомотетии — точка О. Инвариантными фигурами гомотетии будут, очевидно, лучи, имеющие своей вершиной центр подобия. [c.10] В заключение сформулируем понятия равных и подобных фигур, играющие важнейшую роль в элементарной геометрии. [c.10] Вернуться к основной статье