ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Возрастание энтропии из "Стохастические процессы в физике и химии" Настоящее доказательство более ограничено, чем приведенное в 5.3,— ведь мы заранее должны предположить, что существует всюду положительное стационарное решение. Известно, что для замкнутой изолированной физической системы существует стационарное решение основного кинетического уравнения, для обозначения которого мы будем использовать символ р . Однако настоящее доказательство, с одной стороны, применимо также к другим случаям, в которых нет переходных состояний, а с другой стороны, не требует предположения о детальном равновесии или каком-либо другом соотношении симметрии типа (5.4.2). [c.116] Как следует из рис. 10, для любой выпуклой функции / множитель отрицателен, если только х фхп . Отсюда следует, что Н (t) монотонно убывает. [c.116] Упражнение. На самом деле функцию f называют выпуклой, если / (д ) О, и строго выпуклой, если Г (х) О, как требовалось в (5.5.1). Покажите на контрпримере, что простой выпуклости недостаточно для наших целей. Упражнение. Докажите (5.5.4). [c.117] Даже не используя (5.5.4) видно, что это выражение может быть отрицательным. Сравните с (5.7.17). [c.117] Первое свойство состоит в том, что этот частный вид можно использовать для доказательства приближения к равновесию в разреженном газе, описываемом кинетическим уравнением Больцмана. Уравнение Больцмана нелинейно, и для доказательства того, что его решения стремятся к равновесным, нужна иная техника. Эта техника основана на выборе Н в виде (5.5.6) другие выпуклые функции в этом случае использовать нельзя . Между прочим, уравнение Больцмана не является основным кинетическим уравнением для плотности вероятности, а является уравнением эволюции для функции распределения частицы в одночастичном шестимерном фазовом пространстве ( ,и-пространстве ). Однако линеаризованное уравнение Больцмана имеет ту же структуру, что и основное кинетическое уравнение (ср. с. 11.5). [c.118] Отсюда можно сделать вывод, что если система состоит из газа или является твердым телом, Н является экстенсивной величиной. [c.118] Здесь у обозначены значения, которые принимают макроскопические наблюдаемые величины р). Мы докажем (5.6.1) при следуюш,их двух условиях. [c.119] Упражнение. Из (5.6..3) понятно, что импульсы рц представляют собой либо настоящие скорости, либо их линейные комбинации. Это не требуется при общем каноническом преобразовании. Покажите, что независимо от выбора переменных всегда существует автоморфизм х х, обладающий свойствами (5.6.4) —(5,6.7), и что, следовательно, доказательство остается справедливым. [c.122] Как уже упоминалось выше, свойства (5.2.5), характеризуюш,ие У-матрицу, еш,е не гарантируют существования матрицы 5 такой, что произведение S W S диагонально. Добавочное свойство детального равновесия (5.4.2) или (5.6.1) делает симметричной в определенном смысле и, следовательно, диагонализируемой. В этом параграфе мы рассмотрим вытекающие отсюда следствия. [c.122] Без потери общности предположим, что неразложима. Вследствие свойств симметрии (5.4.2) или (5.6.1) это означает, что она также не приводится к виду (5.2.7). Если бы некоторые нз р могли обращаться в нуль, это было бы не так, но нам известно, что в замкнутой изолированной физической системе все состояния имеют ненулевую вероятность. [c.122] Для финитной W-мaтpицы из линейной алгебры следует, что ответ на этот вопрос должен быть положительным, если У-матрица симметрична. Если Ш является оператором в бесконечномерном пространстве, то математические условия усложняются, но в качестве наводящего соображения можно считать любой симметричный оператор диагонализуемым, как это обычно бывает в квантовой механике. Сейчас мы покажем, что свойство детального равновесия гарантирует симметрию оператора W. Будем использовать обозначения для непрерывного множества возможных значений. [c.123] Это соотношение определяет симметрию оператора У. [c.123] Примечание. Кроме вопроса о том, является ли набор собственных функций полным, на практике часто приходится сталкиваться со следующим вопросом. Предположим, для определенного оператора У имеется возможность определить множество решений (5.7.1). Необходимо узнать, представляют ли они все возможные решения. Для финитной матрицы У на этот вопрос можно ответить, подсчитав число найденных линейно независимых векторов Длл некоторых задач в бесконечномерном гильбертовом пространстве можно непосредственно показать, что найденные решения образуют полный набор (см., например, 6.8). Обычно предполагают, что любой разумный систематический метод вычисления собственных функций позволяет найти все функции. Но в некоторых задачах в виде исключения появляются одна или несколько дополнительных собственных функций. [c.124] Упражнение. Сформулируйте рассмотренные выше уравнения для случая вырожденных собственных значений. [c.124] Действительно, это выражение отрицательно, если только все х не равны друг другу и вектор р не пропорционален ffn- Из этого вывода могло бы быть одно исключение. Когда много вероятностей W , обращается в нуль, состояния п разбиваются на две группы, не связанные друг с другом вероятностями перехода. Но в этом случае W-матрица должна быть разложимой. [c.125] Этот результат составляет третье доказательство приближения к равновесию, но это доказательство ограничено W-матрицами, имеющими свойство симметрии, выраженное соотношением детального равновесия. Однако оно не исключает возможности непрерывного спектра. [c.125] Это выражение можно интерпретировать как суперпозицию дебаев-ских функций релаксации (l-f o4 ) с временами релаксации т. Весовая функция g x) суперпозиции может быть непрерывной или состоять из дельта-функций, но в соответствии с (5.7.16) не принимает отрицательных значений. Следовательно, 5(й ) монотонно убывает, когда со пробегает значения от О до оо. [c.125] Это выражение является асимптотическим разложением. Отметим, что коэффициенты разложения можно находить, не решая основное кинетическое уравнение, а просто применяя оператор W конечное число раз. [c.126] Упражнение. Покажите, что коэффициенты в разложении (5.7.18) можно также записать, использовав у — у вместо у. [c.126] Упражнение. Выведите (5.7.18), не используя разложения по собственным функциям. Указание Примените последовательное интегрирование по частям к (3.3.4) и используйте (4.3.7). [c.126] Вернуться к основной статье