ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Уравнение Хилла из "Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория" Мы можем лишь частично коснуться этих сложных и интересных вопросов. Наша цель — показать, что интегрируемая система дифференциальных уравнений 7 тесно связана с уравнением Хилла в случае конечнозонного потенциала. [c.110] Ответ на эти вопросы может быть найден в литературе, указанной в конце статьи ([35]-[41]). [c.113] Тем самым получена точная формула для д через эти спектральные данные. [c.113] Мы будем иметь дело только со случаем конечнозонного потенциала, т.е. будем предполагать, что Л2 -1 = X2j для всех индексов j, кроме конечного числа. [c.113] Прибавлением константы к д мы можем добиться того, что Ло и нормировать ф так, что 0(0) = 0. Положим ф z ) = 0 z), т.е. [c.115] Задание спектра Ло = О, Л1,, Лглг, однако, однозначно определяет Л 1, Л2,. .., Л , так же как и другие собственные значения Л - j 27У), а следовательно, и дискриминант А(Л) = 2со8 (Л). Это завершает обсуждение пункта 1). [c.116] Замечая, что первый член обращается в нуль в силу самосопряженности L, получаем нужное равенство. [c.118] ЧТО приводит с точностью до прибавления константы к эллиптической, -функции. Формула (6 ) показывает, что соответствующий потенциал есть также эллиптическая функция с вещественным периодом 1. [c.119] Следствие 2. Поскольку X2j-l разделяют X2j, отсюда следует, что на этом торе все интегралы положительны. [c.122] Поскольку корни 2(1, и 1(1, z) лежат в интервалах 2j-i А Л2 , то они сливаются при j N, и предыдущее выражение действительно задает рациональную функцию. [c.123] Вернуться к основной статье