ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Примеры интегрируемых потоков из "Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория" Этот случай особенно замечателен, так как точки ветвления этого полинома определяются собственными значениями матриц А и Ь, где тривиальное нулевое собственное значение Ь опущено. [c.169] В данном случае многообразию дЯ = (Ж —Ш1П1 )/Г = ОТ/Г можно дать геометрическую интерпретацию. Это многообразие общих касательных к гг — 1 конфокальным квадрикам Ил ,Ил2 5 где 2 этих касательных должны быть отождествлены, как переходящие друг в друга при отражении х Таким образом, получаем, что общие касательные к п — 1 конфокальным квадрикам образуют 2 -кратное накрытие многообразия Якоби (см. Штауде [20]). [c.169] Векторное поле (5.1), которое мы будем также обозначать через Хя, не обязательно касается М, но такое векторное поле можно построить, заменяя Н на Нм — ограничение Н на М. Тогда функция Нм на симплектическом многообразии (М, о м) определяет векторное поле Хнму касательное к М. Это векторное поле Хн будем называть векторным полем при наличии связей. [c.170] Существует другой способ описания такого потока. Так как сом невырождена на ТМ, то существует пространство (ТМ)- , дополнительное к ТМ в и ортогональное к ТМ по отношению к симплектической структуре. Легко видеть, что Хн — Хнм (ТМ)- . Другими словами, Хнм — проекция Хн на ТМ по отношению к указанному выше разложению. [c.170] Мы применим этот простой прием наложения связей на интегрируемую систему для получения новой интегрируемой системы в последующих примерах . [c.172] Это показывает, что Г — функции от GjJ которые являются интегралами системы. Эти интегралы Gj были найдены К. Уленбеком (см. [21] и Деваней [3]). [c.173] Эти формулы были получены Манаковым [8] для построения интегралов данной системы по характеристическому полиному Ь. [c.175] Таким образом, рассматриваемая система интегрируема, и ее решения выражаются через гиперэллиптические функции. [c.175] Собственные значения Лд Аз Л3 Л4 образуют граничные точки отрезков [Лд Л ] и [Л2,Лз] и непрерывного спектра уравнения Хилла, рассматриваемого на прямой —оо +оо. Другие интервалы (—ооДд), (Лз,Л4). называются интервалами неустойчивости. [c.176] Очевидно, что спектр Л - не может быть задан произвольно, он подчинен асимптотическим ограничениям при j —оо. Более того, работа Мак-Кина и Трубовица показывает, что расположение А2 1 полностью определяется Особенно интересен случай конечнозонного спектра, для которого все, за исключением конечного числа собственных значений, двукратно вырождены, например. [c.176] Это уравнение можно рассматривать как ограничение движения х + 2jXj = О на сферу, где д = д з) играет роль нормальной силы. [c.177] Таким образом, данная задача может быть связана с задачей Неймана на сфере, если положить п = N - -1 и воспользоваться (5.7). Тогда потенциал д[з) определяется из (5.8). [c.177] Здесь Р г) — полином степени 2п — 1, и кривая — рода п — 1. Однако при Су О ни ни собственные значения Л/, матрицы Ь не являются точками ветвления. [c.181] Данное замечание показывает, что матрицы А с кратными собственными значениями также представляют интерес. [c.181] Вернуться к основной статье