ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Качественные методы исследования систем дифференциальных уравнений из "Биофизика Т.1" Характер движения в системе подробно исследован в 4 гл. II. [c.25] Описанная выше бифуркационная ситуация называется складкой в терминах теории катастроф , где под катастрофами понимаются резкие изменения динамического типа поведения системы. Складка (рис. 1.3) содержит две катастрофы при а = а происходит перескок системы с верхней ветви на нижнюю, а при а = а — с нижней на верхнюю. Обе катастрофы связаны со взаимной аннигиляцией устойчивой и неустойчивой ветвей решения. В теории катастроф строго доказывается, что складка является единственным типом такого рода катастроф в однопараметрических системах. В системах, содержаш их два параметра, возможны два типа катастроф складка и сборка (рис. 1.4). В системах с большим числом параметров возможны катастрофы более сложного вида. Катастрофы типа складки часто встречаются в моделях биологических систем. Примером могут служить рассмотренные ниже (см. 3 гл. III) S-образные параметрические зависимости стационарной концентрации субстрата от параметра в ферментативных реакциях с субстратным угнетением и обратной реакцией притока субстрата. [c.25] Простейшие модели этих двух систем впервые были предложены независимо А. Д. Лоткой в 1926 г. (модель химической реакции) и В. Вольтерра в 1931 г. (модель хиш ник - жертва). [c.26] Видно сходство систем уравнений (1.3.2) и (1.3.4). Более того, если член нулевого порядка f o в первом уравнении системы (1.3.2) заменить на автокаталитический член к х, то системы уравнений (1.3.2) и (1.3.4) будут тождественны. [c.27] Здесь Р х, у), Q x, у) — непрерывные функции, определенные в некоторой области евклидовой плоскости х,у — декартовы координаты) и имеющие в этой области непрерывные производные порядка не ниже первого. [c.27] Однако в общем случае уравнение (1.3.6) может не иметь аналитического решения, и тогда построение интегральных кривых приходится производить качественными методами. [c.28] Давая А определенные числовые значения, получаем семейство кривых. В любой точке каждой из этих кривых угол наклона касательной к фазовой траектории, проходящей через эту точку, равен одной и той же величине, а именно величине А, характеризующей данную изоклину. [c.28] Особые точки. Уравнение (1.3.6) непосредственно определяет в каждой точке плоскости единственную касательную к соответствующей интегральной кривой. [c.28] На рис. 1.5 приведен случай одной стационарной точки пересечения главных изоклин системы. На рисунке показаны направления касательных dy/dx к траекториям на фазовой плоскости. [c.30] Система уравнений (1.3.5) обладает столькими стационарными состояниями, сколько точек пересечения главных изоклин имеется на фазовой плоскости. [c.30] Устойчивость стационарного состояния. Пусть рассматриваемая система находится в состоянии равновесия. Тогда изображающая точка на фазовой плоскости находится в неподвижности в одной из особых точек уравнения интегральных кривых (1.3.6), так как в этих точках, по определению, dx/dt = О, dy/dt = 0. [c.30] Если теперь вывести систему из состояния равновесия, то изображающая точка сместится из особой точки и начнет двигаться по фазовой плоскости в соответствии с уравнениями ее движения (1.3.5). Устойчива ли рассматриваемая особая точка, определяет соответственно то, уйдет или нет изображающая точка из некоторой данной области, окружающей особую точку (эта область может быть большей или меньшей в зависимости от условий задачи) (рис. 1.6). [c.30] Для широкого класса систем, а именно грубых систем, характер фазовых траекторий в окрестности особых точек сохраняется при любых достаточно малых изменениях правых частей уравнений (1.3.5)—функций Р и Q, если малыми являются также изменения производных этих функций. Для таких систем исследование уравнений первого приближения (1.3.13) дает правильный ответ на вопрос об устойчивости состояния равновесия системы (1.3.5) и о топологической структуре фазовой плоскости в окрестности этого состояния равновесия. [c.31] Поведение переменных 5,1 , соответствуюш ее (1.3.18), и, следовательно, поведение переменных х,у в окрестности особой точки (ж, у) зависят от вида показателей экспонент Хх,Х2. В том случае, когда показатели Хх,Х2 действительны и одного знака, особая точка носит название узла (рис. 1.7). [c.32] Для многих биологических систем характерен бесколебательный переход от произвольного начального в стационарное состояние, которому в модели соответствует стационарное решение типа устойчивый узел. [c.32] В том случае, когда корни Хх 2 действительны, но разных знаков, поведение переменных изображается на фазовой плоскости кривыми гиперболического типа (рис. 1.8). Такая особая точка является неустойчивой и называется особой точкой типа седло . Легко видеть, что, где бы ни находилась изображаюш ая точка в начальный момент (за исключением особой точки и сепаратрисы, обозначенной на рисунке стрелками), она всегда в конечном счете будет удаляться от равновесия. [c.32] Особые точки типа седла играют важную роль в так называемых триггерных биологических системах (подробнее см. 1 гл. П). [c.32] В том случае, когда ЕеХ = О, фазовые траектории в окрестности особой точки представляют собой эллипсы (рис. 1.10). Через особую точку в этом случае не проходит ни одна интегральная кривая. Такая изолированная особая точка, вблизи которой интегральные кривые представляют собой замкнутые кривые, в частности эллипсы, вложенные друг в друга и охватывающие особую точку, называется центром. Классическим примером системы, имеющей своей особой точкой центр, является приведенная выше система уравнений Вольтерра, описывающая взаимодействие популяций хищника и жертвы (1.3.4). [c.33] При 4 2 кокг подкоренное выражение отрицательно и особая точка — фокус, при обратном соотношении — узел. И в том, и в другом случае особая точка устойчива, так как действительная часть обоих корней характеристического уравнения отрицательна. [c.35] Вернуться к основной статье