Качественные методы исследования систем дифференциальных уравнений

Предсказание режима реактора при заданных значениях параметров и выбранных начальных условиях не представляет принципиальных трудностей, так как с помощью вычислительных машин можно находить частные решения нелинейных дифференциальных уравнений с требуемой точностью и на любом конечном промежутке времени. Однако, если нас интересует вся совокупность возможных режимов в реакторах данного типа при всех возможных значениях параметров, то применение только вычислительных методов может сделать задачу необозримой, потребует огромных и в известной степени напрасных усилий. К тому же при использовании одних численных методов нельзя поручиться, что не будут упущены какие-нибудь тонкие детали фазового портрета, представляющие практический интерес. Поэтому применению численных методов обязательно должно предшествовать качественное исследование изучаемой системы. [c.106]

В самом деле, при исследовании определенного дифференциального уравнения с заданными значениями параметров применение вычислительных методов позволяет ответить на ряд важных вопросов. Однако при полном исследовании системы нас интересует не какой-то определенный режим в заданном реакторе, а вся совокупность возможных режимов в реакторах данного типа при всех возможных значениях параметров. При такой постановке вопроса применение только вычислительных методов делает задачу необозримой, требуя огромных и в значительной степени напрасных усилий. Если же проведено предварительное качественное исследование системы и выяснено, каков ее фазовый портрет, то на втором этапе исследования можно целенаправленно использовать современную вычислительную технику для окончательного решения ряда вопросов. [c.136]

Получить аналитическое решение в квадратурах системы дифференциальных уравнений (5.7), (5.8) не удается из-за их нелинейности. Поэтому при исследовании использовались методы качественной теории дифференциальных уравнений. [c.82]

Дифференциальные уравнения (III.8) и (III.12), описывающие процессы поверхностного разделения при наличии химической реакции, сложны не менее уравнений (П.4), относящихся к случаям без реакции. Интегрирование этих уравнений может оказаться затруднительным, хотя н оправданнее практически в конкретных задачах, когда имеются данные об условиях фазового и химического равновесий. Однарю подобный подход не позволяет исследовать общие закономерности процессов поверхностного разделения, и для этой цели более полезными оказываются методы качественной теории дифференциальных уравнений. В связи с этим, как и в главе II, исследование процессов поверхностного разделения целесообразно разделить на два этапа во-первых, исследование локальных закономерностей в окрестности особых точек и, во-вторых, построение полной картины протекания процесса с учетом всех особых точек, имеющихся на диаграмме состояния системы. Здесь попутно заметим, что особыми точками для систем уравнений (III.8) и [c.63]

Закономерности, свойственные окрестностям особых точек, можно назвать локальными. Для исследования локальных закономерностей воспользуемся одним из методов качественной теории дифференциальных уравнений, а именно подберем систему дифференциальных уравнений, имеющую те же качественные свойства, что и система (П,3), но более простую, затем с помощью найденной приближающей системы изучим свойства рещений системы (11,3) в окрестности ее особых точек. [c.25]

Исследование системы (9.69) с учетом (9.112) с помощью методов качественной теории дифференциальных уравнений [93] показывает, что все возможные треугольные фазовые диаграммы реальных систем по характеру поведения траекторий могут быть разделены на 17 различных типов [44], примеры которых изображены на рис. 9.13. Система любого типа нри определенном выборе нумерации мономеров описывается соответствующей диаграммой на этом рисунке. [c.272]

На многие суш ественные вопросы, касаюш иеся качественного характера поведения системы, в частности устойчивости стационарных состояний и переходов между ними, колебательных режимов и пр., отвечают методы качественной теории дифференциальных уравнений. Эти методы позволяют выявить важные обш ие свойства модели, не прибегая к нахождению в явном виде неизвестных функций l(i),..., (i). Такой подход дает хорошие результаты при исследовании моделей, состояш их из небольшого числа уравнений и отражаюш их наиболее важные динамические свойства системы. [c.18]

Феноменологически механич. свойства Ж. описываются системой дифференциальных ур-ний в частных производных, из к-рых особо важным является ур-ние Навье-Стокса. Исследование этих ур-ний при соответствующих начальных и граничных условиях является предметом гидромеханики. Феиоменологич. описание термодинамич. свойств дается ур-нием состояния р = /(Г, V), связывающим давление р с темп-рой Т и уд. объемом V. Наряду с уравнениями состояния, определенными строгими методами, существует большое число полуэмпирич. уравнений состояния. Наиболее простым в то же время теоретически обоснованным является ур-ние Ван-дер-Ваальса. Оно качественно описывает не только равновесные свойства газов и жидкостей, но, будучи дополнено термодинамическими соотношениями, и фазовые переходы жидкость — пар (см. Испарение). Зная ур-ние состояния, можно вычислить термодинамич. характеристики Ж. теплоемкость, сжимаемость и т. д. Вдали от критич. точки коэфф. сжимаемости и теплового расширения не очень чувствительны к давлению. Однако сжимаемость медленно уменьшается с увеличением давления. [c.31]

Основным средством решения перечисленных выше задач является аппарат качественной теории дифференциальных уравнений. Эта развивающаяся теория позволяет зачастую без нахождения решений уравнений дать представление о решении в целом и его характерных чертах. Значительный вклад в исследование вопросов динамики химических систем был сделан Д. А. Франк-Каменецким. Его классическая монография [394] послужила основой для последующих работ. Знаменательно, что он сразу же оценил новые экспериментальные данные о критических явлениях в изотермических химических системах и дополнил второе издание своей книги анализом этих фактов. Б. В. Вольтер и И. Е. Сальников успешно использовали методы, развитые школой А. А. Андронова, применительно к динамике простейших химических реакторов [153]. Значительно дальше подобные исследования были продвинуты в монографиях Ариса [443] и Перлмуттера [324]. Качественный и численный анализ критических явлений в моделях теории горения дан в работах А. Т. Лукьянова и сотр. (см., например, [106]). [c.27]