ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Бифуркации из "Турбулентность - модели и подходы Ч 1" В рассмотренных нами примерах диссипативных систем с подводом энергии (маятник, энергия которого поддерживается за счет опускающейся гири, животные в лесу, питающиеся в конечном итоге за счет травы) мы обошли молчанием важный вопрос о том, как устойчивое решение (точка в фазовом пространстве) становится неустойчивым и сменяется предельным циклом. Ясно, что поведение системы зависит от некоторых управляющих параметров (масса гири в часах, при недостатке которой маятник остановится, рождаемость зайцев и т.д.) и при изменение этого параметра возможны не только количественные, но и качественные перестройки характера эволюции системы. [c.50] При этом прежнее решение становится неустойчивым. В этой точке имеет место бифуркация, называемая вилкой (ответвление пары решений в виде притягивающих точек). Таким образом, точкой бифуркации называется точка, в которой происходит ветвление решений. [c.51] Бифуркацией Хопфа называется процесс рождения предельного цикла из точки. Поведение системы вблизи точки бифуркации иллюстрирует рисунок 2.8. На рисунке схематически изображены фазовые траектории при трех значениях управляющего параметра г г г = г . [c.51] Отметим два важных свойства бифуркации Хопфа. Во-первых, вблизи точки бифуркации период колебаний не зависит от величины надкри-тичности 8-8 -. Во-вторых, амплитуда колебаний (амплитуда предельного цикла) зависит от надкритичности по корневому закону, то есть пропорциональна величине д/1г I. [c.51] Именно с бифуркацией Хопфа связан первый предложенный сценарий перехода от ламинарного течения к турбулентности (Ландау, 1944г.). Согласно сценарию Ландау переход к турбулентности представляет собой бесконечную цепочку бифуркаций Хопфа, каждая из которых приводит к появлению новой частоты. В такой схеме аттрактор представляет собой п-мерный тор с п, стремящимся к бесконечности, и хаос рождается в системе с очень большим числом степеней свободы. [c.51] Представленная на рис.2.7 бифуркационная диаграмма соответствует нормальной (суперкритической) бифуркации вилки. Это означает, что возникающая в точке бифуркации пара решений ответвляется от начального решения мягко, то есть с нулевой начальной амплитудой, которая монотонно растет по мере роста надкритичности. [c.51] Возможна и другая картина, когда в точке бифуркации происходит жесткий переход к циклу конечной амплитуды (или, в случае вилки, две новые точки появляются на конечном расстоянии друг от друга). Это происходит, когда нелинейные члены в уравнениях стремятся усилить возникающую неустойчивость. Проходя точку бифуркации справа налево (рис.2.9) можно видеть, что неустойчивая неподвижная точка превращается в устойчивую неподвижную точку и неустойчивый предельный цикл. Такая бифуркация называется обратной или субкритической. [c.52] Такое явление называется гистерезисом и хорошо известно в самых различных областях физики и механики. [c.52] Вернуться к основной статье