Бифуркации

В остальных случаях для по-стро ия фазовых портретов необходимо использовать некоторые сведения о предельны. циклах и бифуркациях динамических систем. Эти сведения в самом кратком изложении приводятся ниже. [c.133]

Точки О ц Р называют точками бифуркации, а соответствующие им значения параметра у и у бифуркационными значениями . [c.87]

ПРОСТЕЙШИЕ БИФУРКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА [c.137]

В настоящее время существуют различные точки зрения на природу возникновения хаотических колебаний. Теории особенностей гладких отображений и теории бифуркаций строго доказывают факт, что хаотические колебания могут возникать в системах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, число которых не меньше трех [143]. Примером может служить известная система уравнений Лоренца, связывающая скорость жидкости X с величинами У и характеризующими ее температуру [1441 [c.321]

Представим себе, что бифуркации происходят при значениях параметра 01, 02, 0з,. .. если откладывать значения 0 вдоль некоторой прямой, можно разбить ее на отрезки, разделяемые точками бифуркации. Внутри каждого отрезка система является грубой, в точках бифуркации — негрубой, после перехода через точку бифуркации в ту или иную сторону — снова грубой, но уже с другой топологической структурой фазового портрета. [c.137]

В более общем случае, когда правые части дифференциальных уравнений содержат несколько параметров, можно говорить о бифуркационных кривых, поверхностях, гиперповерхностях, разделяющих пространство параметров на области, внутри каждой из которых топологическая структура фазового портрета остается неизменной. Определение такого разбиения пространства параметров и характера бифуркаций, происходящих на границах областей, является завершающим этапом качественного исследования динамической системы. [c.137]

Бифуркационные значения параметров можно найти, если заметить, что кривые N if°, Гдо, i o) точках бифуркации имеют вертикальную касательную. Продифференцируем уравнение (2.79) по ]>го(где / = [c.92]

Более подробно о бифуркациях динамических систем будет рассказано В главе IV. [c.87]

Рассмотрим теперь, как можно ИС- p . ЦМУ. Разбиение пло-толковать полученные результаты. скости параметров уо, (i. При наличии двух устойчивых стационарных состояний одно из них соответствует меньшей температуре (нижний температурный режим), другое — большей (верхний температурный режим). Бифуркация, соответствующая точке D (см. рис. III-16), заключается в исчезновении нижнего температурного режима, приводящем к скачкообразному переходу в верхний (рис. П1-16, D—> ). При понижении же температуры стенки становится невозможным верхний температурный режим и происходит скачкообразный переход к нижнему (рис. П1-16, F- G). [c.89]

Используя метод теории бифуркации [21], можно показать, что при В>В = А - - задача (30) —(32) имеет, по крайней мере, одно строго положительное периодическое по t решение, следовательно, эта задача не обладает свойством стабилизации решений. [c.112]

Рассмотрим теперь, какие простейшие бифуркации могут осуществляться в динамических системах второго порядка. [c.137]

Простейшим примером такой бифуркации является слияние седла и узла в сложное положение равновесия типа седло — узел с последующим его исчезновением (рис. 1У-10, а, б, в). [c.138]

При описании изменения фазового портрета системы при этой бифуркации примем для простоты, что уравнения системы содержат лишь один параметр. [c.138]

На рис. IV- О, а изображена часть фазовой плоскости вблизи расположенных рядом седла и узла. Будем изменять значение параметра так, чтобы седло и узел сближались в момент бифуркации они сольются, образовав седло — узел (рис. 1У-10, б). При дальнейшем изменении значения параметра в том же направлении седло — узел исчезает (рис. IV-10,в). [c.138]

На рис. ГУ-13, й, б, в показано, как изменяется фазовый портрет системы в результате рассматриваемой бифуркации. Два простых цикла (рис. 1У-13, а) сближаются и в момент бифуркации сливаются в полуустойчивый предельный цикл (рис. 1У-13,б). При дальнейшем изменении параметра в том же направлении полуустойчивый предельный цикл исчезает (рис. 1У-13,в). [c.141]

На рис. 1У-16, а, б, б показано, как изменяется окрестность петли сепаратрисы при рассматриваемой бифуркации. До бифуркации петля сепаратрисы отсутствует (рис. 1У-16, а). При бифуркационном значении параметра появляется петля сепаратрисы (рис. 1У-16, б изображена устойчивая петля). При дальнейшем изменении параметра в том же направлении происходит рождение предельного цикла из петли сепаратрисы (рис. 1У-16, е). [c.144]

Для решения этой задачи предложено применить теорию бифуркаций. Рассмотрим в качестве примера реакцию взаимодействия кислорода с водородом на металлических катализаторах [4, 17], протекающую по механизму, состоящему из следующих стадий [c.87]

Если значение параметра изменяется в противоположном направлении, то в момент бифуркации предельный цикл влипает в петлю сепаратрисы (рис. 1У-16, б), после чего петля исчезает (рис. IV-16,а). [c.144]

Приведенный фазовый портрет соответствует области 2 плоскости параметров уа, (см. рис. И1-24 и П1-28). Чтобы ознакомиться с еще одним типом фазовых портретов, содержащих предельные циклы, выясним смысл бифуркаций, происходящих при переходе через кривую А = 0. [c.149]

Представим себе, что устойчиво как положение равновесия А, так и В, и начальные условия соответствуют точке, находящейся в области притяжения положения равновесия А. При этом осуществляется нижний температурный режим (рис. 1У-21, точка О). При постепенном увеличении параметра уо в точке Е происходит бифуркация изображающая точка на фазовой плоскости, находившаяся в малой окрестности положения равновесия А, перескакивает к положению равновесия В (рис. 1У-21, точка Р)-, в системе скачкообразно устанавливается верхний температурный режим. [c.149]

При уменьшении параметра Уо в точке G происходит бифуркация, и верхний температурный режим скачкообразно заменяется нижним (рис. IV-21, точка Я). [c.150]

Для построения фазовых портретов, содержащих предельные циклы, особенный интерес представляет бифуркация, происходящая при переходе из незаштрихованной области плоскости [c.150]

Неустойчивости, обычно возникающие за точками бифуркации, обязаны своим появлением термодинамическим флюктуациям, которые могут быть причиной вывода системы из равновесия. Возможен с.тучай, когда неустойчивость приводит к появлению нового состояния системы, которое стабилизируется во времени и пространстве. Такое состояние означает, по существу, образование новой так называемой диссипативной структуры, характеризующейся согласованным поведением системы. Термин диссипативные структуры специально введем для того, чтобы подчеркнуть отличие от равновесных структур. Диссипативные структуры являются поразительным примером, демонстрирующим способность неравновесности служить источником упорядоченности. Механизм образования диссипативных структур следует четко отличать от механизма формирования равновесных структур, основанного на больцмановском принципе упорядоченности. Поддержание стабилизированной во времени и пространстве физико-химической структуры с определенным типом изменения концентрации реагентов достигается за счет непрерывного обмена с окружающей средой энергией и веществом, что является прямым следствием образования диссипативных структур в открытых системах и тем самым отличает их от равновесных структур (например, кристаллов). [c.281]

В зависимости от характера корней характеристического уравнения в распределенной системе также могут возникнуть стационарное, но пространственно неоднородное распределение концентрации — так называемая бифуркация Тьюринга, или предельный цикл, зависящий от распределения реагентов по координате и порождающий автоволновые процессы [4, 8—П]. [c.38]

Такой набор параметров называется точкой [бифуркации уравнения (У.38). [c.171]

Таким образом, точки кривой N( p°, Рдо, Рсо) =0, для которых (v , liio. Ч о) - О, являются точками бифуркации. Совместное решение этих двух уравнений дает [c.92]

Связь между параметрами течения при захлебъгаании можно получить из уравнения (2.96), используя методы теории бифуркаций. Отметим, что в этом случае переменная, определяющая состояте дисперсного потока зависит от четырех параметров Удо, (Л о и либо И, так как является функцией к. Из соотношений (2.80) и (2.81) ясно, что вне зависимости от числа параметров, значения их в точках бифуркации определяются совместным решением двух уравнений N=0 и Л = 0. Используя для функции N выражение (2.96) и проводя необходимые вычисления, получаем [c.102]

Рассмотренная бифуркация имеет непосредс1венное отношение к объяснению мягкого и жесткого возбуждения автоколебаний. [c.142]

Характер бифуркации, происходящей на кривой а = О, зависит от знака первой ляпу-новской величины, т. е. выражения аз, определяемого формулой (IV, 10) если аз < О, то бифуркация заключается в том, что устойчивый предельный цикл стягивается в фокус если аз > О, то положение равновесия, становясь устойчивым, рождает неустойчивый предельный цикл. [c.152]

При изменении значений параметров в противоположном направлении устойчивый предельный цикл конечных размеров появляется в результате разделения полуустойчивого цикла, возиикаю-щегв в момент бифуркации, на два простых цикла. [c.153]

Одну из попыток математически описать поведение системы, в которой наблюдаются хаотические колебания, представляет теория бифуркаций [141]. Бифуркцию можно определить как возникновение при некотором критическом значении параметра нового решения уравнений но мере удаления системы от состояния равновесия. В общем случае при возрастании некоторого характеристического параметра р происходят последовательные бифуркции. На рис. 7.15 показано единственное решение при р = р , но при р = Рч единственность уступает место множественным решениям [80]. [c.320]

Описание системы с бифуркацией включает и детерминистический, и вероятностный элементы. Между двумя точками бифуркации в системе выполняются детерминистические законы, например законы химической кинетики, но в окрестности точек бифуркции существенную роль играют флюктуации, и именно они выбирают ветвь, которой будет следовать система. [c.320]

Математически теория бифуркации весьма сложна. Кочень простой точно разрешимой ситуации приводит теория катастроф Рене Тома [142]. Эта ситуация применима к ситуации, когда описание объекта сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений в потенциальном виде, т. е. = —-дУ дХ1, где [c.320]

В реакционно-диффузионных мембранах, где возникают, мигрируют и распадаются промежуточные химические соединения, массоперенос описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, решение которых неоднозначно и сильно зависит от степени неравновесностн системы при этом в результате сопряжения диффузии и химической реакции возможно возникновение новых потоков массы, усиливающих или ослабляющих проницаемость и селективность мембраны по целевому компоненту. При определенных пороговых значениях неравно-весности, в так называемых точках бифуркации, возможна потеря устойчивости системы, развитие диссипативных структур, обладающих элементами самоорганизации. Это характерно для биологических природных мембран, а также для синтезированных полимерных мембранных систем, моделирующих процессы метаболизма [1—4]. [c.16]

Марсден Д,, Мак-Кракен M, Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М. Мир, 1980. 386 с. [c.115]

При анализе поведения решений эволюционных задач при ас важным является вопрос о периодических колебаниях, стабилизации решений к стационарным и об устойчивости этих стационарных решений. Эффективным при доказательстве существования периодических по времени решений эволюционных уравнений является метод бифуркации рождения цикла (БРЦ), предложенный Андроновьпи и Хопфом для систем обыкновенных дифференциальных уравнений [1] и обоснованный для некоторых параболических систем уравнений [2]). Результаты работ [3,5] позюляют обосновать метод БРЦ и для некоторых гиперболических задач [6,7]. [c.16]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология