ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Как описать переход и хаос из "Турбулентность - модели и подходы Ч 1" ТОЧКИ пересечения плоскости фазовой траекторией (причем фиксируются только точки, в которых траектории пересекают плоскость в одном направлении, в данном случае, сверху вниз). [c.53] При переходе от фазовых траекторий к сечению Пуанкаре происходит снижение размерности исследуемого множества. При этом рассматривается не система дифференциальных уравнений с непрерывным временем, а отображение (2.7) с дискретным временем и дифференциальные уравнения заменяются разностными. В то же время, сечение Пуанкаре сохраняет топологические свойства породившего его потока. Так для консервативной системы сечение сохраняет, а для диссипативной сокращает площади на плоскости 8. [c.53] Если решение системы периодическое, характеризуемое частотой / , то фазовая траектория представляет собой замкнутую кривую и сечение Пуанкаре представляет собой в простейшем случае одну единственную точку (или несколько точек, если траектория очень извилистая и/или неудачно выбрана плоскость сечения). Если в решении появляется вторая частота и аттрактор представляет собой двумерный тор, то точки в сечение Пуанкаре ложатся на замкнутую кривую, которая может иметь или не иметь точек самопересечения (рис.2.11). При этом точки могут образовывать на этой кривой конечное множество, если отношение частот рационально и фазовая траектория представляет собой замкнутую линию, или покрывать кривую непрерывным образом, если отношение частот иррационально. [c.53] В первом случае, собственное значение действительно и пересекает окружность в точке +1. Этот переход соответствует бифуркации узел-седло, означающей, что появляется одно неустойчивое направление и периодическое движение разрушается. [c.54] Во втором случае, собственное значение также действительно, но пересекает окружность в точке -1. Момент перехода соответствует ситуации, когда траектория через раз снова попадает в прежнюю точку. Это так называемая бифуркация удвоения периода (субгармоническая бифуркация). Она может быть нормальной и обратной. При нормальной субгармонической бифуркации решение заменяется новым устойчивым периодическим решением с удвоенным периодом (см. параграф 1.7), при обратной бифуркации возникает временная перемежаемость, когда долгие интервалы почти периодического движения сменяются хаотическими осциляциями. [c.54] Третий тип перехода возникает при комплексных собственных значениях. В этом случае пара комплексно-сопряженных значений одновременно пересекает единичную окружность. Этот переход отвечает бифуркации Хопфа (возникает блуждание траектории вокруг устойчивой прежде точки). Если бифуркация нормальная, то предельный цикл переходит в тор, если обратная, то вновь возникает перемежаемость. [c.54] Теория Флоке рассматривает устойчивость замкнутой фазовой траектории, интересуясь при этом только поведением всего цикла в целом. Можно поставить вопрос и о локальной устойчивости траектории, независимо от того, является ли она замкнутой или нет. Иначе говоря, речь идет о характеристике скорости расхождения (схождения) начально близких траекторий в фазовом пространстве. Количественной мерой расходимости траекторий являются показатели Ляпунова. [c.55] В самом неустойчивом направлении, практическое определение первого показателя Ляпунова можно реализовать по следующей схеме. [c.56] Вернуться к основной статье