ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Статистическое рассмотрение беспорядочной цепи из "Физика упругости каучука" Пусть такая цепь состоит из п звеньев, каждое длины I. При решении этой задачи, следуя методу, принятому Куном и его сотрудниками, сначала необходимо найти распределения отдельных звеньев цепи по углам, когда ее концы закреплены в двух точках А и В. Последняя задача имеет точное решение только тогда, когда число звеньев велико при этом система может рассматриваться как статистическая совокупность звеньев хотя каждое звено подвергается непрерывным флюктуациям, система как целое придет в стационарное состояние, в котором доля звеньев, отвечающая любому данному углу, остается существенно неизменной. [c.92] Крива а—гауссовское приближение кривая 6—ланжевеновское приближение [формула (6.2)) кривая с—точное решение [формула (6.5) . [c.94] Вероятность P(r)dr того, что длина лежит между г и r- -dr независимо от ее направления, получается так же, как и в гауссовском случае (см. гл. П1), т. е. умножением плотности вероятности [данной по (6.2)] на элемент объема, который в данном случае равен 4-кгЧг. Вид функции (6.2) показан на фиг. 39 и 40. [c.94] Форма ее приближается к гауссовской, когда rinl мало. Ясно видно также асимптотическое стремление к пределу при максимальном растяжении цепи [rlnl = I), где вероятность падает до нуля. [c.95] Кривые а—гауссовское приближение кривые Ь—лан-жевеноьское приближение формула (6.2)] кривые с—точные решения формула (6.5)1. [c.95] Зависимость силы от растяжения для беспорядочно изогнутой цепи. [c.96] В этой области зависимость силы от растяжения оказывается линейной, что соответствует гауссовскому распределению. Зависимость между силой и растяжением во всей области от г/и/ = 0 до г/л/==1 передается функцией (6.4), показанной на фиг. 41. Такой вид зависимости был получен Джемсом и Гутом [64], а также В. Куном и Г. Куном [82]. [c.96] Определение функции распределения посредством рядов. [c.96] Ответить на этот вопрос прямо нельзя. Однако можно получить косвенный ответ путем сопоставления результатов, приведенных выше, с данными, полученными при решении проблемы беспорядочной цепи независимым и более точным методом. [c.97] Вычисленные по этой формуле кривые распределения для трех различных цепей, длины которых соответствуют числу п, равному 6, 25 и 100, представлены на фиг. 39 и 40. На графиках приведены величины, представляющие логарифм плотности вероятности Р(г)/4л/-2, так что кривые могут сравниваться с кривыми, рассмотренными выше. Произвольные постоянные подобраны так, чтобы все кривые сходились к началу координат. Видно, что кривые далеко не одинаковой формы. Таким образом, вероятность, представленная выражением (6.5), зависит не только от отношения rjnl, как это было определено в менее точном выражении (6.2). Сравнение соответствующих кривых показывает, что для /г = 6 (см. фиг. 39) ланжевеновское приближение, хотя и является более точным, чем гауссовское, но все же приводит к ошибкам, значительным по величине. При п — 25, однако, разница между двумя формулами уже совершенно незначительна, тогда как при /г = 100 ею можно совершенно пренебречь (см. фиг. 40). [c.97] Из ЭТИХ расчетов можно вывести следующее заключение для цепей, длина которых порядка тех, с какими мы имеем дело в каучуках, ланжевеновское приближение для практических целей, повидимому, достаточно точно и явно предпочтительней по сравнению с точным, но громоздким рядом формулы (6.5). [c.98] Вернуться к основной статье