ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Признаки неосцилляторности и осцилляторности из "Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов" Уравнение Эйлера (41) сводится к уравнению с постоянными коэффициентами, и можно непосредственно исследовать его решения. [c.151] Наконец, третье доказательство, подробно проводимое ниже, состоит в следующем. [c.151] Таким образом, при выполнении последнего неравенства (47) уравнение (41) будет неосцилляторным, а в противном случае — осцилляторным, что и требовалось доказать. [c.152] Выбор в (56) в качестве сглаживающей функции полинома о)( ) не является при доказательстве данной и следующей теорем случайным. Естественное стремление получить наименьшее значение констант и в (53) и (58) приводит однозначно к сглаживанию с помощью полинома о)( ), определяемого интерполяционными условиями (54). Для того чтобы получить представление о точности признака (53), следует сравнить его с ранее установленным признаком неосцилляторности (37). [c.158] В отличие от предыдущих теорем приводимый ниже признак осцилляторности не связан с предположением об отрицательности потенциала. [c.160] И обозначим через Ri Rq последний корень функции Q(x), так что при л будет С (л ) 0. [c.162] ТО есть выполнение условия (37) для уравнения (2), которое, следовательно, является неосцилляторным в силу теоремы 8. [c.163] Доказательство. Пусть уравнение (36) -устойчиво осцилляторно. Если при этом условие (66) не выполнено, то для некоторого значения к = к имеет место неравенство (65), откуда, на основании теоремы 8, следует неосцилляторность при к = к уравнения (2), что противоречит -устойчивой осцилляторности уравнения (36). [c.163] Обратно, если (х) 0 и выполнено условие (67), то тем самым при любом Д О выполнено неравенство (66), совпадающее с условием (53) для уравнения (2), которое, следовательно, является осцилляторным в силу теоремы 11. [c.163] Вернуться к основной статье