ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Методы определения параметров уравнений статики из "Построение математических моделей химико-технологических объектов" При нахождении параметров уравнений статики экспериментально-аналитическим методом составляют функцию Ф(а), явно зависящую от переменных аги, ( = 1, 2,. . . , п ц = 1, 2,. . . , к). Функцию Ф(а) вида (IX. 10) и (IX. П) получают и при определении параметров уравнений динамики, для которых можно найти аналитические решения, что возможно для линейных по у функций 1г или для систем (IX. 3), преобразуемых к уравнениям с разделяющимися переменными. Примеры определения ац линейных дифференциальных уравнений рассматриваются в гл. XI. Приемы нахождения йщ нелинейных дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными разбираются в гл. X. [c.216] Для лучшего понимания возможностей того или иного метода минимизации функции Ф(а) приведем определения основных терминов теории экстремальных решений. Для удобства записи будем пока рассматривать функцию Ф(а) = Ф(аьа2.а ) от переменных. [c.216] В практических задачах иногда говорят о глобальном минимуме на открытом множестве АфЕ . При этом подразумевается что вне А функция Ф(а) не имеет минимумов или доподлинно известен факт нахождения абсолютного минимума в А. Введение такого множества А обусловлено не только стремлением сузить область поиска а, но и невозможностью представления в ЦВМ неограниченно больших или малых чисел. [c.217] Абсолютный минимум всегда является и относительным, обратное же утверждение в общем случае неверно. [c.217] В ряде задач требуется найти условный минимум функции Ф(о), переменные которой связаны дополнительными условиями типа Fj(a)=Q (/= 1, 2,. ... .., т я). Зависимости Р] могут быть конечными или дифференциальными уравнениями. Точка а условного минимума лежит на пересечении Ф(а) с поверхностями Pj d) = 0. [c.217] Задачу на условный экстремум Ф(а) получают и при наличии ограничений на диапазон изменений а, т. е. когда множество А замкнуто. [c.217] Точки ас множества А, в которых норма (длина) вектора градиента равна нулю, называются стационарными. Число стационарных точек нелинейной функции Ф(а) может быть произвольным. Линейные функции вообще не имеют стационарных точек. [c.218] Необходимое и достаточное условия справедливы в малой окоестностй точки 0, т. е. носят локальный характер и не дают ответа на вопрос, является лн минимум глобальным. [c.218] Формальная процедура решения безусловных экстремальных задач может быть такой. [c.218] Для определения стационарных точек функции Ф(а), переменные которой связаны условием Р](а) =0 ( = 1, 2. т), применяют метод множителей Лагранжа. [c.218] К системе (IX. 20) добавляются уравнения связей fг(a) = 0. [c.218] Из приведенной процедуры нахождения минимума Ф(а) следует, что наиболее сложной и трудоемкой задачей является определение стационарных точек йс, являющихся корнями уравнений дФ(й)/да1 = О I = 1, 2, п). [c.219] Функции Ф(а) типа (IX. 4) и (IX. 5) можно назвать плохо организованными функциями, поскольку они характеризуются некоторыми из приведенных ниже особенностей. [c.219] ПО И в вычислительном отношении сложнее функции Ф(а) (здесь г/ и у] — известные функции). [c.219] Причины образования оврагов заключаются, по-видимому, в трансцендентности и нелинейности функций fi, Б недостаточно хорошем усреднении экспериментальных данных и т. п. [c.220] Отметим, наконец, многомерность функций Ф(а). Чаше всего число переменных в выражениях (IX. 4), (IX. 5) превышает 3—4, а в некоторых задачах достигает 10—12. Многомерность Ф(о) затрудняет геометрическую интерпретацию процедуры поиска минимума увеличивает затраты машинного времени. [c.220] Из второго и третьего приведенных выше свойств плохо организованных функций (IX. 4), (IX.5) следует, что определение стационарных точек йс из системы уравнений (IX. 18) возможно только приближенными, итерационными методами. При этом однозначно устанавливается, является ли данная Яс точкой минимума или максимума. [c.220] Каждая функция многих переменных имеет свои, заранее неизвестные, особенности строения поверхности Ф(а). Это привело к разработке большого числа различных приближенных методов. Некоторые из них, наиболее приспособленные для исследования плохо организованных функций, разбираются ниже. [c.220] Вернуться к основной статье