ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Нахождение ри методом градиентов из "Построение математических моделей химико-технологических объектов" Подставим зависимости (IX. 49) в правые части функций fi уравнений (IX. 47). Решения г/,(/) этих уравнений становятся функциями от коэффициентов Функционал (IX. 48) также превращается в функцию конечного числа /)ж переменных УгЬу. [c.243] Нахождение минимума функции Ф(9 лу), заданной алгоритмом вычисления, может осуществляться каким-либо из описанных на стр. 221—231 поисковых методов. При разложении фjft(y) в ряд по функциям yi t) существенно возрастает размерностьОдгзадачи. Быстрый рост числа усложняет выбор приемлемых начальных приближений и вынуждает увеличивать количество экспериментальных функций у] 1). Для определения целесообразно предварительно преобразовывать дифференциальные уравнения (IX. 47) в систему конечных соотношений. [c.243] Точность решения экстремальной задачи прямым вариационным методом зависит от числа членов N в разложении (IX. 49, й). Выбор N связан с большими трудностями. При малом числе членов ряда (IX. 49, а), (IX. 49, б) точность аппроксимации Фгя(у) может быть неудовлетворительной, увеличение же N усложняет задачу поиска минимума Ф(дгпу) и увеличивает затраты машинного времени. [c.243] Если б не очень велико, например, менее 10—15%,то в разложении (IX. 49, а) можно ограничиться /V = 2. В противном случае следует увеличивать N до трех, находить т1пФ( ) У з и анализировать б и т. д. [c.243] Задачу определения экстремали (у) можно существенно упростить, если осуществлять ее решение в два этапа. [c.244] Выражение фгл[у(0] является сложной функцией времени, поэтому формально ее можно записать как ф л(/) (1 = 1, 2,. .., и Н = , 2,. .., к). Функции ф л(0 не имеют физической трактовки и отнюдь не характеризуют нестационарность процесса или технологического параметра во времени. Преобразование ф1 (у) к фгл(0 есть формальный прием, упрощающий решение экстремальной задачи. [c.244] Здесь М у, у ) — непрерывная положительно-определенная функция у — уэу — конечномерная норма вектор-функции у —р / (0 удовлетворяют уравнениям связи (IX. 50) при. = (0 и г/ДО) = = / (0). Функции ф,71 (О, как и раньше, принадлежат открытому пространству В. [c.244] Один из способов восстановления этой зависимости приведен ниже. [c.245] Подбор числа членов разложения (IX. 53) производится обычными приемами. [c.245] Введем в рассмотрение некоторую формальную функцию Н, являющуюся скалярным произведением векторов у 1) и ф(0 = = г1з1(0. г1)2(0.-- . (0 . т. е. [c.246] Система (IX. 55, б) имеет п краевых условий г 1г(7 н) = 0 кроме того, фо(Т н) = 1]зо(/) = —1. [c.246] В общем же случае уравнения (IX. 56) не удается разрешить относительно ф,-я и тогда для отыскания экстремали Ф (/ ) требуется совместно решать системы (IX. 50) с х 1) = х (1), (IX. 55, а) и (IX. 56). Практическое решение этой задачи крайне затруднено следующими обстоятельствами. [c.246] Затруднения другого рода возникают при численном интегрировании сопряженной системы (IX. 55, а). Так как fi и М нелинейны по yi t), то правые части уравнений (IX. 55, а) зависят от iji t) и аналитические решения г г(/) найти нельзя но система сопряженных уравнений (IX. 55, а) неустойчива [при условии, что зависимости (IX. 50) устойчивы], поэтому при численном ее интегрировании малые ошибки ЦВМ приводят к большим отклонениям решений фг(0 от истинных траекторий. Интегрирование на ЦВМ неустойчивых дифференциальных уравнений является весьма сложной задачей и требует применения специальных приемов вычисления их правых частей. [c.247] Здесь Фф— производная Фреше функционала, называемая также градиентом а — величина рабочего шага. [c.247] Рассмотрим один из способов определения производной Фреше. [c.247] Здесь и в системе (IX. 61) символ т означает операцию транспонирования матриц (З/г/ У] и /г/ 3фз/, . [c.248] Итерационная процедура минимизации функционала Ф(ф) строится следующим образом. [c.248] Далее итерационная процедура повторяется. [c.249] Итерационный процесс оканчивается, если скорость убывания функционала становится меньше заранее заданной величины бф (сходимость по функционалу), Ф(у , фО — Ф(у +, ф + )11 бф, или когда ф (0 —Ф (011 бф (сходимость по норме экстремали ф). [c.249] Градиентный спуск всегда приводит к какой-либо экстремали ф ( ), дающей локальный минимум функционала Ф, однако скорость сходимости низкая. Причины медленного поиска минимума заключены в конструкции функционала, хотя, разумеется, определение ф(0 можно ускорить путем применения других итерационных процедур, например, метода сопряженного градиента. [c.249] Вернуться к основной статье