ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Целевая функция и ее некоторые свойства из "Методы оптимизации в химической технологии издание 2" Нормализация независимых переменных. Ниже при рассмотрении методов решения задач нелинейного программирования. в большинстве случаев предполагается, что критерий оптимальности R (IX, 1) является трудновычислимой функцией, аналитическое выражение которой как функции независимых переменных Xj отсутствует. [c.476] Поскольку при решении конкретных задач независимые переменные могут иметь самый различный физический смысл (например, температура, давление, концентрация и т. д.) и соответственно разные единицы измерения, при решении оптимальных задач численными методами целесообразно оперировать с их безразмерными нормализованными значениями. Обычно для нормализации применяется возможный диапазон изменения значений независимых переменных, который всегда может быть установлен, исходя из физической сущности решаемой задачи. [c.477] С учетом нормирования переменных можно говорить о решении задачи нелинейного программирования как совокупности неотрицательных значений KJ (/ = 1,. .., п),минимизирующей (или максимизирующей) критерий оптимальности R (IX, 1) и удовлетворяющей условиям (IX, 2), т. е. [c.477] Геометрическая интерпретация целевой функции и ограничений. [c.477] В соответствии с соотношением (IX, 1) значение критерия оптимальности R может рассматриваться как функция, определенная в га-мерном пространстве переменных Xj (j = 1,. .., п). Поскольку наглядное графическое изображение га-мерного пространства отсутствует, далее используется следующий прием представления функции R(x) на плоском чертеже. [c.477] Ограничения же типа неравенств (IX, 26) независимо от их числа наглядно представляются описанным способом (рис. IX-l,s). [c.479] Поскольку условие (IX, 12) — лишь необходимое, но еще не достаточное, могут представиться случаи, когда при его выполнении в некоторой точке ) экстремума функции R(x) в ней не будет. [c.479] Примерами подобных точек целевой функции служат точки, в которых функция R(x) по одному или нескольким направлениям имеет минимум, в то время как по остальным — максимум. Такие точки называются седловыми точками функции R(x). Для случая двух переменных пример функции с седлом был рассмотрен в главе III. [c.479] Линии постоянного уровня на плоскости Р, проведенной через седловую точку х изображены на рис. ДХ-2, где стрелками показаны направления уменьшения значений функции R(x). [c.479] Другим типом особенностей целевой функции являются так называемые овраги, при наличии которых вдоль определенных направлений величина данной функции изменяется очень слабо. [c.479] В общем случае линия дна оврага может не совпадать по направлению с осями координат и, кроме того, существенно отличаться от прямой, т. е. возможны также криволинейные овраги. [c.480] Функции многих переменных могут иметь овраги с размерностью, превышающей 1. Наглядное графическое изображение. таких случаев отсутствует, однако формально многомерный овраг можно определить как область значений независимых переменных, в которой функция R(x) вдоль нескольких направлений в -мерном пространстве имеет малую скорость изменения, тогда как вдоль остальных направлений скорость изменения этой функции сравнительно высока. [c.480] Как показано ниже, наличие оврагов у оптимизируемой функции затрудняет отыскание истинного положения экстремума и для точного его нахождения приходится использовать специальные методы поиска (см. стр. 516). [c.480] Градиент целевой функции. Среди методов, применяемых для решения задач нелинейного программирования, значительное место занимают методы поиска решения, основанные на анализе производных оптимизируемой функции. Предполагая в-дальнейшем (там где это специально не оговорено), что анализируются только непрерывные дифференцируемые функции R(x), остановимся на свойствах этих функций, которые можно использовать для анализа их поведения. [c.481] Найденная производная характеризует скорость изменения функции R(x) в точке х в направлении /. Поскольку через точку х можно провести бесчисленное множество прямых по различным направлениям, то, следовательно, в каждой точке для функции R(x) можно определить бесчисленное множество производных по разным направлениям. Нетрудно показать, что все эти производные могут быть выражены через производные по координатам, число которых уже будет конечным и равным размерности п. [c.481] Аналогично и в выражении (IX, 17) величины dxj/dl есть не что иное, как направляющие косинусы выбранного направления / по отношению к осям координат, т. е. [c.482] Разрешая уравнение (IX, 21) относительно любой из переменных, можно построить указанную поверхность, задаваясь различными значениями остальных переменных. [c.482] Поскольку поверхность постоянного уровня (IX, 21) имеет п — 1 независимых параметров, очевидно, что ее можно представить как поверхность с п — 1 измерениями. Так, например, в пространстве двух переменных, т. е. на плоскости, эта поверхность вырождается в некоторую линию, которая имеет только одно измерение — длину (рис. IX-6,а). В пространстве трех переменных (рис. IX-6,б) поверхность постоянного уровня, определенная для функции R(xi,x2,Xz), имеет уже два измерения — длину и ширину. Точно так же в я-мерном пространстве поверхность постоянного уровня функции R(x), описываемая уравнением (IX, 21), имеет /г —1 из мерений. [c.482] Таким образом, в каждой точке поверхности (гиперповерхности) в /г-мерном пространстве можно провести п — 1 взаимно перпендикулярных касательных в соответствии с числом измерений этой поверхности. Кроме того, в той же точке можно провести ось, перпендикулярную всем касательным и, следовательно, направленную по нормали к поверхности. Подобное построение изображено на рис. IX-7 для случая п = 3. [c.483] Основным свойством градиента функции R(x), обозначаемым как gradR(x) или VR(x), является то, что вектор VR(x) в каждой точке области определения функции R(x) направлен по направлю нию нормали к поверхности уровня, проведенной через эту точку, и по алгебраической величине равен производной от указанной функции по направлению нормали. [c.484] Вернуться к основной статье