ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Простейшие одномерные задачи из "Квантовая механика и квантовая химия" Введение основных положений требует и развития определенного аппарата теории, а также обсуждения ряда вопросов, носящих вспомогательный характер, но определяющих структуру многих квантовомеханических выражений. Прежде всего имеет смысл остановиться на небольшом числе простых задач, иллюстрирующих то, как и какие рассуждения проводятся и какие результаты получаются в квантовой механике. [c.27] Существование второй производной требует, чтобы функция была непрерывной вместе со своей первой производной. Вторая же производная определяется поведением потенциала У(х) если он имеет точки разрыва, то разрывной в этих точках будет и вторая производная. Из физических соображений, связанных с вероятностным смыслом г )(л ) как плотности вероятности обнаружения частицы в точке х, следует требование, чтобы функции -ф были всюду ограниченными. [c.27] Полученное решение должно удовлетворять, согласно сказанному в п. а, двум граничным условиям x ) -(-L/2) = i-(L/2) = О, т.е. [c.31] Поскольку X в - действительная положительная величина, а волновая функция при х — оо должна оставаться ограниченной, то очевидно, что коэффициент а следует выбрать равным нулю, так что Tpiij, = Ье . [c.34] Таким образом, в данной задаче, в отличие от предыдущей, решения существуют при всех Е 0. Эти решения, однако, различаются по своему поведению справа от точки разрыва для потенциала над потенциальной ступенькой грц представляет собой линейную комбинацию двух экспонент от мнимого аргумента, или, что то же, линейную комбинацию синуса и косинуса кх, тогда как под ступенькой - это затухающая экспонента е , стремящаяся к нулю тем быстрее, чем больше X, т.е. чем ниже соответствующий уровень энергии. В классической механике такому потенциалу отвечало бы два типа движения при Е У материальная точка (шарик) двигалась бы, например, слева направо (от некоторого значения х О при г = 0) равномерно со скоростью, равной ее скорости в момент времени / = О и кинетической энергией туУ2 далее при прохождении над ступенькой ее энергия не менялась бы, а скорость уменьшалась скачком до величины у = у12т(Е-Уо), а при Е = У она в этой точке останавливалась бы. При Е У картина иная дойдя до ступеньки, материальная точка отражается от нее и с такой же (по абсолютной величине) скоростью, что и V,, идет назад. [c.35] В этом интеграле функция с(Е), так же как и коэффициенты с в линейной комбинации (15), полностью должна определяться заданием начальных условий г )(дг, t = 0). [c.36] Линейная комбинация двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях, при определенном соотношении коэффициентов А к В дает стоячую волну, представляемую, например, выражением вида Ф = a.f kx + o )- os( u/ + Oj), где а, O, и oj- некоторые постоянные, а/ - некоторая функция, равная, в частности, синусу или косинусу аргумента f + O,. Если сравнить это выражение с (14), то несложно убедиться, что они по своей сути одинаковы (при этом роль/играет -ф, а в качестве временного множителя вместо os((of + o ) выступает е ), так что стационарные решения уравнения Шредингера в отличие от других возможных решений, например типа О 5), представляют, по-существу, стоячие волны, квадрат модуля которых пропорционален плотности вероятности обнаружения частицы в той или иной точке пространства. [c.36] Чтобы ответить на него, целесообразно обратиться прежде всего к физической сути задачи. Очевидно, что любая реальная задача имеет дело с ограниченным объемом, в котором находится частица. Часто границы находятся достаточно далеко, положения мы их не знаем точно, и они не должны существенно сказываться на результатах. Тем не менее, границы есть, а это означает, что можно всегда поместить частицу в очень большой потенциальный ящик, на дне которого могут быть ступеньки, барьеры и тому подобные неровности, однако области их локализации существенно меньше размера ящика L. Волновые функции, отвечающие стационарным состояниям, в таких задачах обладают интегрируемым квадратом модуля, т.е. они могут быть нормированы. В то же время по мере увеличения L они должны приближаться к тем функциям, которые отвечают непрерывному набору значений Е, т.е. к функциям непрерывного спектра. [c.39] Коль скоро по исходному построению последний интеграл конечен, то для нормировки всей функции Р достаточно потребовать, чтобы вместо исходной функции с Е) в интеграле стояла функция с Е) Ы, отличающаяся от исходной лишь числовым множителем. [c.40] Без сомнений, нормировка на й-функцию пока что выглядит довольно формальной процедурой. Потребовались годы для того, чтобы обосновать существование 5-функций, построить последовательности обычных функций, стремящихся к й-функциям, показать, каковы свойства 5-функций помимо уже упомянутых и т.д. Эти конструкции привели к обобщению обычного понятия функций и к введению представлений о так называемых обобщенных функциях. Нам пока нет смысла заниматься всеми этими проблемами, ибо они нас уведут в сторону от основных вопросов. По этой причине будем просто полагать, что такие функции существуют и что нормировка на них может быть осуществлена, например при предельном переходе от некоторых, достаточно больших, но конечных пределов интегрирования к бесконечным пределам. [c.40] Отметим, что сводка основных формул, определяющих свойства 0-функций, дана в Приложении 2. [c.42] Вернуться к основной статье