ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Базисы для квантовых схем из "Классические и квантовые вычисления" Как выбрать базис для вычислений в квантовых схемах Унитарных операторов бесконечно много, поэтому либо полный базнс должен содержать бесконечное количество элементов, либо мы должны ослабить условие точной реализуемости оператора схемой, заменив его иа условие приближённой реализуемости. Мы рассмотрим обе возможности. [c.60] Теорема 7.1. Базис, содержащий все унитарные операторы, действующие на парах д-6итов, позволяет реализовать любой унитарный оператор в расширенном смысле. [c.60] Для доказательства этой теоремы введем важный класс операторов операторы с квантовым управ.лением. [c.60] Графически будем изображать онератор Л(Х) с квантовым управлением как показано на рисунке. Верхняя линия соответствует первому сомножителю, нижняя линия — второму. Направление стрелок соответствует направлению перемножения операторов (справа налево). [c.60] Унитарный оператор С/ 11(2) действует на этом пространстве так и Е иЕи . Можно доказать (см. [8, 11.12]), что описанное действие задаёт изоморфизм и(2)/и(1) = 80(.3), где и(1) — нодгрун-па фазовых сдвигов, а 80(3) — группа поворотов в трёхмерном пространстве (т е. группа ортогональных преобразований с детерминантом, равным 1). [c.61] При этом действии г соответствует поворот вокруг оси х на 180°, X соответствует поворот вокруг х иа 90 , а У соответствует поворот вокруг г на 180°. [c.61] Существует обратимая схема Р размера 0 к], вычисляющая произведение входных битов (с мусором) графически она представлена на рис. 2 (сверху обозначено число битов в каждом из выделенных фрагментов памяти). [c.62] Па рис. 3 показано, как с помощью схемы Р и оператора с одним управляющим q-битoм построить оператор Л (С/). Мы применяем схему Р, а затем — обратную схему Р , после чего все вспомогательные биты возвращаются в исходное состояние. В промежутке самой верхней линии соответствует бит со значением Х1 . . . х . Его мы и используем для управления оператором П, действующим на самой нижней липни. Другим способом А и) можно записать как Р Л( 7)Р. [c.62] на парах базисных векторов мы можем действовать произвольно. Пока все использованные схемы имели размер 0 п), так что построенные действия реализуются эффективно. Следующая часть неэффективна. Имеет место следующая лемма. [c.63] Доказательства этих свойств нормы получаются непосредственно нз определения и оставляются в качестве упражнения. [c.64] Дадим теперь определение приближенной реализуемости. Если искомый оператор — 1/, то его приближённая реализация будет обозначаться и. [c.64] Определение 7.3. Оператор и представляет оператор П с точностью ес.ли и — и 5. [c.64] Замечание 7.1. Всякая модель, претендующая на решение сложных задач какими-то реальными физическими процессами, должна обязательно изучаться на предмет устойчивости к ошибкам приближения. (В реальной жизни параметры любого физического процесса можно задать лишь с некоторой точностью.) В частности, вычисление с экспоненциальным накоплением ошибок почти заведомо бесполезно с практической точки зрения. [c.65] Второе свойство понятия 11 представляет 11 с точностью мы сформулируем в более общем контексте. [c.65] Рассуждение про накопление ошибок проходит и в этом случае (что, конечно, следует проверить). [c.65] Определение 7.5. Будем называть базис Л полным, если любой унитарный оператор V м,ожно с любой точностью представить в расширенном смысле квантовой схемой в базисе А. [c.66] Доказательство этой теоремы следует нз решения задач 7.5-7.9. [c.66] Вернуться к основной статье