ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Пример простейшей краевой задачи из "Вибрационное горение" В предыдущем параграфе были приведены общие решения уравнений акустики движущегося неизоэнтропического газа. Однако для однозначного определения исследуемого процесса необходимо сформулировать краевые и начальные условия. Эти условия могут иметь различный вид, в зависимости от конкретного содержания задачи. [c.42] В просте11шем случае краевые условия могут сводиться к линейным однородным соотношениям между переменными, которые должны удовлетворяться на концах трубы. Поместим начало координат = О в левом конце трубы и, приняв длину трубы за характерный линейный размер Ь, получим для правого конца координату = 1. [c.42] Среди задач описанного типа особый интерес представляют такие, в которых два из трех краевых условий не содержат а, например в предыдущем примере случай. [c.42] Задание функций Д и означает, что возмущение движения газа в трубе в начальный момент времени известно. [c.43] Обратимся к решению (4.13). Из формул (4.14) видно, что при 1 = 0 фл(0) = 1, фз(0) = 0. [c.43] Таким образом, заданным краевым условиям удовлетворяют гармонические колебания с вполне определенными частотами со (случай /с = О рассматриваться не будет, так как он соответствует не представляющему интереса переходу потока на новую стационарную скорость течения при том же давлении р = 0, o = = onst при всех т и I). Здесь следует заметить, что точно такие же частоты получились бы для краевых условий и = 0 на обоих концах трубы. [c.44] Самая низкая допустимая частота, соответствующая А = 1, со, = (1 — М ) я называется основным тоном колебаний. Более высокие частоты oj = (1 —Л/ ) 2я сОд = (1—TV/ ) Зя . .. и т. д. часто называют обертонами. В настоящей книге будет использовано другое наименование допустимых частот колебаний. Условимся называть их собственными значениями частоты, или гармониками. При этом основной тон (наинизшую частоту) будем называть первой гармоникой, частоту, соответствующую к = 2— второй гармоникой и т. д. [c.44] Каждое значение со, взятое по формуле (5.4), т. е. каждая гармоника, определяет частное решение системы пз двух первых уравнений (4.10), удовлетворяюш ее поставленным краевым условиям. В силу Линейности этих уравнений сумма частных решений также удовлетворяет этим уравнениям и краевым условиям (5.1). [c.45] Здесь буквами обозначены неопределенные пока числа, которыми можно распорядиться так, чтобы удовлетворить начальным условиям. [c.45] Строго говоря, прежде чем идти дальше, надо было бы доказать сходимость рядов (5.5). В курсах уравнений математической физики приводятся соответствуюш,ие теоремы, которые позволяют судить о том, какие ограничения следует наложить на функции Д ( ) и / (1) (5.2), чтобы их можно было разложить в ряд по функциям, стоящим в прямых скобках в выражениях (5.5). Этот вопрос и ряд примыкающих к нему вопросов математического характера здесь исследоваться не будут, главным образом потому, что в дальнейшем задачи с начальными условиями не рассматриваются интересующиеся найдут соответствующие сведения в специальных руководствах. [c.45] Для полноты доведем, однако, решение поставленной в настоящем параграфе задачи до конца, сделав упрощающее допущение, что газ в трубе неподвижен (Л/ = 0). [c.45] Вернуться к основной статье