Непротиворечивость системы аксиом

О непротиворечивости систем аксиом мы уже говорили. Что же такое полнота Начнем с примера. Если в геометрии Евклида отбросить аксиому о параллельных прямых, то, опираясь на остальные аксиомы, невозможно ни доказать ее, ни опровергнуть. В этом смысле система оставшихся аксиом — неполная. Дадим определение полноты системы аксиом. [c.94]

Итак, следует примириться с тем, что любая непротиворечивая система аксиом, а только такими и можно пользоваться, не может дать ответ на все возникающие вопросы. Нечто похожее имеет место в физике элементарных частиц, которая не отвергает предположения о бесконечной сложности материи. Как показывает история физики, расширение наших знаний происходит путем добавления новых физических законов, дополняющих и видоизменяющих старые. Этот процесс аналогичен (а по сути дела, тождественен) добавлению новых аксиом к той или иной системе старых . Новые аксиомы позволяют однозначно ответить на некоторые ранее неразрешимые вопросы. Теорема Геделя показывает, что сколько бы новых аксиом мы ни добавляли, всегда останутся или возникнут новые неразрешимые вопросы. Важно только, что выводы, получаемые на каждом шаге данного процесса, соответствуют действительности, если этим качеством обладают присоединяемые аксиомы. [c.97]

Доказать непротиворечивость какой-либо теории представляется на первый взгляд очень трудной, почти невыполнимой задачей. В самом деле, как проследить все мыслимые следствия из аксиом данной теории и убедиться, что никакие два из них не противоречат друг другу К счастью, имеется простой общий метод, который упрощает эту задачу и часто приводит к цели. Вспомним, что противоречивая система аксиом не имеет ни одного реального или мыслимого объекта, который бы ей удовлетворял. Поэтому теория непротиворечива, если удалось найти хотя бы один подобный объект. Именно таким образом в 1860 г. итальянский математик Эженио Бельтрами (1835-1899) доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского-Болиаи. Он открыл поверхность, на которой действительно выполняются все аксиомы этой геометрии. Существование такой поверхности и ее свойства вытекают из аксиом геометрии Евклида [c.93]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология