Бесконечные десятичные дроби

Бесконечные десятичные дроби [c.37]

Ранее отмечалось, что перевод числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную и наоборот не представляет трудностей. Это объясняется тем, что основания этих систем кратные, поэтому необходимо лишь заменить коды одной системы кодами другой. Переход от десятичной записи числа к двоичной или шестнадцатеричной и наоборот осуществляется сложнее. При этом необходимо считаться с тем, что конечная дробь в одной системе счисления может оказаться бесконечной или периодической в другой, что в свою очередь приведет к потере точности. Например, [c.160]

Очень удобным способом записи действительных чисел являются бесконечные десятичные дроби. Продемонстрируем это на примере. Рассмотрим следующую монотонно возрастающую последовательность рациональных чисел [c.37]

Каждый ее элемент получается из предыдущего добавлением еще одного произвольно выбранного десятичного знака. Это позволяет записать последовательность в виде одной бесконечной десятичной дроби — 1,2718.. . Подчеркнем, что эта дробь пока является не числом, а только удобной формой записи нашей бесконечной числовой последовательности. Вспомним, однако, теорему о существовании предела у всякой монотонно возрастающей ограниченной числовой последовательности. Последовательность (4) является именно такой — все ее члены меньше чем 1,3. Поэтому последовательность (4) имеет предел — некоторое вещественное число а. Удобно и совершенно естественно записывать это число в виде приведенной выше бесконечной десятичной дроби. [c.37]

Применим этот результат к множеству всех действительных чисел. Оно состоит из двух подмножеств рациональных и иррациональных чисел. Первое, как мы видели, является счетным. Если бы и второе подмножество являлось счетным, то счетной была бы и их сумма, то есть множество всех действительных чисел. Мы, однако, покажем, что последнее не является счетным. Это будет означать, что, как и утверждалось, множество всех иррациональных чисел нельзя перенумеровать, то есть его мощность больше мощности множества рациональных чисел. Что же представляет собой доказательство, найденное Кантором Оно ведется от противного . Предположим, что нам удалось перенумеровать все действительные числа. Каждое действительное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби. Построим бесконечную десятичную дробь, у которой число целых рано нулю, а первый знак после запятой не равен первому знаку после запятой у действительного числа, получившего первый номер. Второй знак у числа, которое мы строим, выберем произвольно, лишь бы он не совпадал со вторым десятичным знаком у действительного числа с номером два. Подобным же образом, при выборе к-го десятичного знака позаботимся о том, чтобы он не совпадал с к-м десятичным знаком действительного числа с номером к. Такой метод построения нашего числа гарантирует, что оно не совпадет ни с первым действительным числом, ни со вторым, и, вообще, ни с одним из перенумерованных чисел, то есть этого числа нет в списке. Следовательно, как бы мы ни нумеровали действительные числа, занумеровать все их невозможно. Они образуют несчетное множество. Это же относится и к множеству иррациональных чисел. Итак, мощность счетного множества меньше континуума. [c.80]

Примеры А. 1—А. 5 содержали числа, логарифмы которых можно было легко найти, непосредственно используя определение 1. Обычно численное значение логарифма числа может быть выражено конечной десятичной дробью лишь приблизительно. Эти приближенные выражения собраны в таблицах логарифмов. (Таблицы строятся с помощью различных численных методов, таких, как разложение логарифма в бесконечный ряд.) Например, для 1 2 четырехзначные таблицы десятичных логарифмов дают приближенное значение 0,3010. [c.539]

Если алгоритм (при определенных исходных данных) завершается за конечное число шагов, его называют применимым (к этим исходным данным) в противном случае — неприменимым. Алгоритм может оказаться неприменимым, если он никогда не завершает свою работу (бесконечное число шагов), либо его выполнение на некотором шаге наталкивается на препятствие (при этом говорят, что он безрезультатно обрывается). Пример незавершающегося алгоритма деление десятичных дробей с бесконечным числом десятичных знаков в частном пример безрезультатного обрыва процесса появление на некотором шаге деления на ноль, что невозможно. [c.22]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология