Возмущение операторов вторичного квантования потенциалами

В 2 изучаются потенциальные возмущения операторов вторичного квантования. Первый возникающий здесь вопрос — существенная самосопряженность суммы La + V (V = V — измеримая функция на Ф, задающая потенциал). Мы приводим условия на потенциал, обеспечивающие существенную самосопряженность суммы, и показываем, что при их выполнении справедлив аналог формулы Фейнмана — Каца для полугруппы (/ > 0) V / 6 2 (Ф. 7i) [c.508]

В 1 этой главы мы обсуждаем общий подход к преодолению указанной выше трудности в случае сингулярных потенциальных возмущений операторов вторичного квантования Ьа (см. гл. 6), действующих в пространстве Ь (Ф, ух). Идея такого подхода состоит в следующем. При наличии у потенциала V == V достаточно хороших р-свойств в гл. 6 была доказана самосопряженность суммы Ьа + V а наличие у Ьа Л- V нормированной собственной функции (основного состояния) ф > О 71-п. в., отвечающей нижней границе спектра = п 5 Ьа + + V). Вводя вакуумную меру = ф / yl на Ф и переходя от 2 (Ф", Тх) унитарным образом к а (Ф, ц ), определяем перенормированный оператор .геп = Ф7 ( л + V — Е ) ф в Ь (Ф, причем для гладких цилиндрических функций и, V [c.590]

Описанная схема одевания приобретает более конкретный вид применительно к рассмотрению сингулярных потенциальных возмущений операторов вторичного квантования. Это связано с тем, что рассмотренная в гл. 6, 3, п. 2, процедура перенормировки подсказывает конкретный выбор одевающих операторов, упрощающий проверку условий (1.1). Пусть задан сингулярный потенциал V и последовательность (У )Г=1 с= 2+Е (Ф, Тх). е > 0 V /7 > 1, п б N ехр (—У ) 6 б Ьр (Ф, Ух), Уп — Уп, аппроксимирующая V (в каком-то смысле). К примеру, У 6 7> (Ф ) и Уп- У, п->оо, в смысле обобщенных функций. Обычно выбор аппроксимирующей последовательности связан с физическим смыслом рассматриваемой задачи в теории поля это ультрафиолетовые и объемные обрезания, в квантовой статистической физике решетчатых систем — переход к рассмотрению взаимодействия лишь конечного числа частиц и т. д. Пусть невозмущенный оператор Ьа равномерно эллиптичен, т. е. а, а> 0. Тогда для каждого п 6 N согласно п. 3 2 гл. 6 имеем в существенном самосопряженный на Сй,су1 (Ф ) оператор л + 1 и основное состояние > О Т1-П. в. Перейдем к операторам Ь = Ьа + Уп [c.594]

При рассмотрении потенциальных возмущений операторов вторичного квантования La (см. 3 гл. 6) была введена процедура перенормировки, ставящая в соответствие оператору La + V оператор Дирихле L v, отвечающий мере канонически связанной с потенциалом V. В случае определенной регулярности потенциала процедура перенормировки тривиальна в том смысле, что она приводит к оператору, унитарно эквивалентному (с точностью до сдвига) La + V, который сам по себе хорошо определен в исходном гильбертовом пространстве. Но в ряде приложений приходится использовать потенциалы, не имеющие смысла измеримых функций и заданные либо обобщенными функциями, либо вообще формальными выражениями, в которые не вкладывается даже такой смысл. Подобная сингулярность V, вообще говоря, делает невозможным определение La + V как оператора в 2 (Ф > Yi)- Тем не менее в ряде случаев формальной сумме La + V может быть поставлен в соответствие (посредством стандартной процедуры перенормировки, естественно продолжающей описанную) оператор в новом гильбертовом пространстве. Ниже обсуждается общая схема такой перенормировки и ее интерпретация в терминах функционального интеграла. [c.593]

Замечание 1. Легко видеть, что схема перенормировки пригодна для изучения потенциальных возмущений не только операторов вторичного квантования, но и вообще операторов Дирихле. Единственное существенное отличие связано с тем, что в случае операторов вторичного квантования мы знаем условия на потенциал, обеспечивающие существование основного состояния фу, а в случае общих операторов Дирихле этот вопрос требует отдельного изучения. [c.595]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология