Подмножества измеримые с мерой

Рассмотрим гильбертово пространство (/н), являющееся пространством всех квадратично-интегрируемых функций на пространстве с мерой ( , М, т), где — замкнутое ограниченное подмножество трехмерного пространства, М — и-алгебра всех измеримых подмножеств с мерой Лебега и т — мера Лебега. Пространство С( ) всех непрерывных функций на может рассматриваться как подпространство (/ ). Таким образом, мы можем расширить модель, описанную в разд. 2. Обобщение может быть представлено схематично, как это сделано на рис. 1. [c.515]

Далее, достаточно проверить это утверждение для одноточечных подмножеств V. Это вытекает из следующего известного факта теории меры пусть (Ж, ) есть прямое произведение измеримых пространств [c.38]

Можно развить и абстрактную теорию меры, не предполагая, что на пространстве О имеется топология (см., папример, Халмош [1]). Основной объект такой теории — это пространство с мерой (П,. е/, р), где. е/ — семейство подмножеств пространства П (измеримых подмножества), а мера р — счетно-аддитивная функция на, si. Мы предполагаем, что р > О и р Х) < оо. Изоморфизмы пространств с мерой — это сохраняющие меру преобразования, определенные и взаимнооднозначные с точностью до множеств меры ноль. Можно показать, что компактное метризуемое пространство с положительной мерой Радона является пространством Лебега, т.е. изоморфно объединению интервала действительной прямой с мерой Лебега и счетного множества (конечного или бесконечного), каждая точка которого имеет положительную меру, или массу (см. Рохлин [1]). В частности, если вероятностная мера р на компактном метризуемом пространстве не имеет [c.263]

Интегрирование по мере р можно продолжить с пространства 4 Х) на широкий класс функций, в частности, на характеристические функции многих подмножеств пространства О и определить тем самым меру этих измеримых) подмножеств. К числу измеримых подмножеств метризуемого компактного пространства относятся борелевские множества — элементы с-кольца, порожденного компактными множествами. (Непустой класс множеств называется ст-кольцом, если оп замкнут относительно операций симметрической разности и счетного объединения.) Измеримые множества — это множества вида X N, где X — борелевское подмножество, N — подмножество некоторого борелевского множества меры нуль. [c.263]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология