Подпространство

Стехиометрическим подпространством 5 в F называется линейная оболочка множества стехиометрических векторов vj i, 7 = 1,. . ., R- Пусть (i), [О, се),— решение (3.6), с(0) е У+. Тогда из уравнений (3.6) следует [43], что (i) при любом t е [О, оо) принадлежит многограннику реакций (МР) [c.117]

Правые части (3.20), (3.21) есть элементы в с(0) + 8, так как структура их такова, что они являются линейной комбинацией векторов реакции, поскольку 5 — линейное подпространство в V. Иными словами, для всех i > О (i) есть сумма с(0) и вектора С1(г) [c.125]

Здесь v > — вектор v — линейная функция, переводящая произвольный вектор с в . Результат действия линейного отображения lv> или просто v. Из (3.192) видна самосопряженность К относительно скалярного произведения <я Ь> и ее отрицательная определенность в инвариантном подпространстве 5, являющемся линейной оболочкой векторов V . Все собственные значения К — отрицательные действительные числа, поэтому ТДР является устойчивой по первому приближению точкой типа узел , и вблизи нее невозможны затухающие периодические колебания. Такие колебания, однако, возможны, пока система находится вдали от ТДР. При этом концентрации некоторых веществ могут многократно, но ограниченное число раз, проходить через локальные экстремумы, общее число которых определяется как типом кинетики, так и механизмом сложного процесса. Для кинетики Аррениуса и линейного механизма общее число колебаний не превышает — 1 раз [85]. [c.242]

Пусть каждая фазовая область Хг описывается своей системой гладких равенств и неравенств. Точку х( ) е Xt будем называть регулярной точкой множества Хг, если градиенты всех активных в точке х 1) ограничений линейно независимы. Сформируем две матрицы Аь и 5 , столбцами которых служат градиенты активных в точке х 1) ограничений-неравенств и ограниче-ний-равенств, соответственно. Если х 1) —регулярная точка Хг, то конус К х 1), Х() состоит из всех неотрицательных линейных комбинаций столбцов матрицы Л и произвольных линейных комбинаций столбцов матрицы Иными словами, двойственный конус представляет собой сумму многогранного конуса и подпространства, порождаемого матрицами А, Bt. Используя этот факт, легко придать условиям (1°) — (3°) теоремы иную эквивалентную форму, использующую дополнительную информацию об описании фазовых областей. [c.189]

Шаг 1 (проверка на сходимость в текущем подпространстве). [c.204]

Свойства главных компонент таковы, что описание объектов в пространстве к главных компонент имеет наименьшие искажения особенностей их взаимного расположения по сравнению с описанием в любом другом подпространстве гой же размерности. Интерес представляет случай, когда к невелико. Тогда расположение объектов в пространстве выбранных главных компонент легко изучается визуально. При этом становится воз.можным делать выводы общего характера, например, выделить скопление параметров. [c.233]

Таким образом, каждое новое приближение ищется как линейная комбинация (s + 1)-го предыдущего приближения. Операция (П1.17) нужна потому, что размерность подпространства, образованного линейными комбинациями векторов х, xi . .., х>- при s <С п меньше, чем (п + 1). Поэтому, пользуясь только преобразованием (П1.16), нельзя выйти из данного подпространства и, если решение X не принадлежит этому подпространству, то это решение не достигается. Для получения первых Пд точек применяют метод с переменным базисом. В этом случае дс задается, а находится с помощью простой итерации. Вектор определяется по формулам (И1.16)и (П1.17) с S = 1, а затем по этим же формулам находят х , но в этом случае s = 2. Таким образом, базис увеличивается до заранее заданного числа По. По < п. [c.71]

Обобщение этого рассуждения на функцию (19.1) п независимых переменных требует перенесения рассмотрения с плоскости в (л + 1)-мерное пространство, что, впрочем, не представляет трудностей. Не будем это приводить подробно, а дадим лишь формулы. Рассмотрим особенно важный для применения случай преобразования только под-набора х ,. .., х полного набора х .....х . Геометрически это значит, что преобразование проводится в ( + I)-мерном подпространстве (п + 1)-мерного пространства, причем, естественно, подпространство должно содержать координату у. При таком г-кратном преобразовании Лежандра переменные. .... х следует рассматривать [c.88]

Соотношение (11,205) показывает, что если матрица сингулярна при некотором г, т. е. существует линейная зависимость между ее столбцами, определяющими, таким образом, некоторое линейное подпространство 7V пространства E , то все последующие члены последовательности [xi] содержатся в подпространстве Xi -f TV,. Кроме того, если последовательность л , сходится к некоторому х Е , то (11,205) дает [c.77]

Итак, при появлении сингулярной матрицы в последовательности (Я,) алгоритм минимизации ведет, вообще говоря, к неверному результату — к минимуму функции в некотором подпространстве пространства E . [c.77]

Итак, элементы соответствующих строк (и столбцов) матрицы Я оказываются близкими к нулю (С1), за исключением элементов 1, стоящих на главной диагонали. Значит, компоненты вектора р = —Я , указывающего направление последующего движения, с номерами г ,. . будут <С1 и т. д. Приведенные соображения показывают, что в данной ситуации алгоритм минимизации ведет поиск наименьшего значения функции, но существу, в подпространстве, отвечающем фиксированным значениям пере- [c.83]

Алгоритм движения в линейном подпространстве. Этот алгоритм должен состоять из трех основных частей. Первая часть — алгоритм определения матрицы Я,- в (1,43), обеспечивающий движение в заданном многообразии, вторая часть — определение шага вдоль поискового направления и третья часть — критерий схода с активного ограничения. Начнем рассмотрение с первого алгоритма. Итак, пусть требуется минимизировать / х) при наличии только ограничений типа равенств [c.191]

Проекционный алгоритм. В гл. II (см. с. 43) был описан проекционный алгоритм, обеспечивающий построение сопряженных направлений в задаче безусловной минимизации. При этом направление р,- ищется как направление, дающее наибольшую скорость убывания минимизируемой функции при выполнении условий сопряженности [см. (11,24)—(11,26)1. Данный алгоритм можно легко обобщить на случай движения в подпространстве Ьд, образуемом пересечением гиперплоскостей (IV,101). [c.199]

Легко видеть, что условие (IV,133) обеспечит движение, в подпространстве Ьд, если начальная точка Ьд. [c.199]

Обозначим через М подпространство, образованное пересечением гиперплоскостей, касательных к гиперповерхностям == О (i — I,. .., т) в точке и. В области D = [] функция Ф = F и V является в области D точкой минимума функции F. Поэтому для всех допустимых направлений I I М), исходящих из точки V, будут выполняться либо условия (VI,23), либо условия (VI,25). Отсюда направления, на которых возможно выполнение соотношений (VI,26), могут быть только вне подпространства М. [c.236]

При этом матрица А А проектирует любой вектор на подпространство, натянутое на столбцы матрицы А, а матрица А А — на подпространство, натянутое на строки матрицы А. [c.266]

Пусть известна в пространстве переменных Ui,. . ., точка i/< (цо,. . ., Ur), в которой выполняются условия (П1,2), т. е., другими словами, точка лежит на т гиперповерхностях, определяемых равенствами (И1,2). В точке f/ проведем т гиперплоскостей, касательных соответственно т гиперповерхностей (111,2). Обозначим через Р подпространство г — т размерности, образованное пересечением этих гиперплоскостей. Найдем в точке / направление наи-быстрейшего изменения функций z при условии, что оно принадлежит подпространству Р. Сделаем по этому направлению достаточно малый шаг в точку С/ -. Тогда в первом приближении можно считать, что координаты данной точки удовлетворяют равенствам (П1,2), так как она лежит в гиперплоскостях, касательных к гиперповерхностям (П1,2) в точке 7 . В точке описанную процедуру повторяем заново и т. д. [c.76]

Опишем теперь метод нахождения направления наибыстрейшего изменения функции г в подпространстве Р. Обозначим Ы бесконечно малый вектор, выходящий из точки 7 по какому-нибудь направлению [c.77]

Остановимся теперь на вопросе, почему в данном случае, в отличие от метода Вольфа, необходима операция (111,26). Предположим временно, что мы отказались от этой операции и на каждой итерации следующее приближение подсчитывали по формуле (П1,25). Рассмотрим подпространство, образованное всевозможными линейными комбинациями векторов (1П,53). Обозначим данное подпространство через Р. Размерность его меньше чем п, поскольку т ап. Если следующее приближение получать по формуле (П1,25), точка а + опять будет лежать в подпространстве Р. После того как одна из точек совокупности (П1,53) будет заменена на новую точку мы опять получим базис, который состоит из точек, принадлежащих подпространству Р. Отсюда новое приближение также окажется принадлежащим подпространству Р и т. д. Тогда итерации все время [c.42]

Итак, смысл операции (П1,26) состоит в выведении точки xi+ из подпространства Р, образованного векторами (П1,53). Отсюда тоже становится ясно, почему в методе Вольфа не нужна операция (П1,26). Поскольку число линейно независимых векторов v> ] = = 1,. . ., и) в формуле (111,50) будет равно п (если точки х . . ., х не лежат в одной гиперплоскости), то пространство, образованное всевозможными линейными комбинациями [c.42]

Пусть Q — линейное подпространство, натянутое на векторы q а = 1, р). Ясно, что если q Q, то [c.37]

В главе III будет показано, что матрица Kt, имеющая структуру (II, 108) [см. выражение (111,54)], является оператором проектирования на подпространство С, ортогональное подпространству, натянутому на векторы у ,. .., а вектор а, является ортогональной проекцией t/ на подпространство С, т. е. [c.44]

Матрица в фигурных скобках выражения (IV, 55) представляет собой проекционный оператор [сравните с формулой (111,38)], переводящий векторы из пространства Ер в подпространство, натянутое на векторы столбцов дцч дх матрицы 1 -. Так как, по предположению векторы 5фг/( х, г = 1, р линейно-независимы, т. е. образуют базис в пространстве Е , упомянутый проекционный оператор является тождественным преобразованием [и ( / 7) = 7 ] пространства Е в себя и формула (IV, 55) принимает вид [c.120]

Рассмотрим вычислительную процедуру получения производных по начальным условиям. Начальные условия, как правило, варьируются только в некотором подпространстве V фазового пространства, связанного с возбуждением пишь части нормальных колебаний, поэтому можно вычислять часть оператора V, связанную с V. [c.84]

Пусть I — матрица размерности (2/7 Хт), столбцы которой являются базисом подпространства V. Тогда нужно вычислять матрицу V I, т.е. применять оператор V к /п векторам. [c.84]

Ввод начальных данных. Вводятся начальные значения импульсов, координат и времени. Если рассчитываются производные по начальным условиям, то вводится матрица базиса подпространства, в котором происходит вариация начальных условий, — I. [c.84]

Записав уравнение (4.226) в подпространстве с базисными функциями фй, определенными формулой (4.225), придем к следующей системе относительно искомых величин и [c.195]

Многообразие размерности п — 2, отвечающее условию химического равновесия, разделяет (п—1)-мерный концентрационный симплекс на два подпространства той же размерности (п—1), одно из которых соответствует области прогекания прямой реакции, а другое — обратной. [c.194]

Общее правило для оценки количества независимых химических инвариантов в реагирующей системе гласит, что число независимых химических инвариантов равно разности между числом молекулярных видов н числом независимых химических реакций. При этом важно подчеркнуть, что если для заданного множества молекулярных видов м, = 1,. . ., 7V, установлено векторное подпространство структурных видов максимально большой размерности, то последнее тождественно совпадает с множеством возможных хилп1Ческих инвариантов. Отсюда непосредственно следует, что число химических инвариантов не зависит от конкретных химических реакций, протекающих в реагирующей системе, а определяется количеством молекулярных видов и их структурой. Итак, с использованием химических инвариантов система кинетических уравнений [c.246]

Лемма 5. Пусть пересечение ядра оператора с линейньт подпространством, порожденным функциями Ф , А = О, iV , т = = О, 2, содержит только нулевой элемент пространства г(0, 1), тогда при выполнении предположений леммы 1 функции линейно независимы в совокупности. [c.152]

Обозначим через Sn линейные ограниченные операторы, отобра-жающие Е в Sn(E) zEn, где Sn (Е)— конечномерные подпространства пространств Еп соответственно. Приближенное решение уравнения (21) определим как решение уравнения м [c.153]

Транспонируя выражение для Р1+1 легко найти, что если матрица Р симметрична, то матрица Рг+1 также будет симметричной. Но, поскольку матрица Ро = 1п симметрична, следовательно, все матрицы Р окажутся симметричными. Кроме того, можно показать, что матрица Р положительно полуопределена. И, наконец, то же направление р может быть получено путем непосредственного использования процесса ортогонализации Грамма — Шмидта [29, с. 230]. В этом случае в подпространстве В строится базис [c.45]

Замечание 2. Цоскольку точка является точкой минимума в подпространстве, порожденном Хд и направлениями Ро,. . р/, где / п — 1 (см. с. 122), можно рассмотреть вариант алгоритма 1А, в котором обновление производится при г = /сг, причем г — целое число, меньшее п. В этом случае требуется меньший объем машинной памяти, чем в алгоритме ТА, если направления р определяются с помощью процедуры ортогонализации. [c.47]

Рассмотрим вначале поисковую точку х , в которой число активных ограничений должно увеличиться (точка В на рис. 37). Пусть до этой точки поиск шел во всем пространстве, а начиная г, нее, должен выполняться в подпространстве Ясно, что направление Pk = —Hlgk не будет сопряженным по отношению к предыдущим направлениям. Это обусловлено двумя причинами. Во-первых, из-за того, что точка Х , не совпадает с оптимальной точкой на направлении р/ 1 [см. (IV,126)], а во-вторых, вследствие того, что Н в данной точке определяется не как решение уравнения (11,118), а ведь только в этом случае направление р/, оказалось бы сопряженным с предыдущими нанравлениями. [c.198]

Такой алгоритм может быть легко приспособлен для решения задачи с линейными ограничениями. При этом по-прежнему матрица Я, будет строиться так, чтобы в ыределе она стремилась к матрице 4 . а вектор и обеспечивал как сопряженность направлений. так и движение внутри заданного подпространства. [c.200]

Необходимым и достаточным условием выпуклости квадратичной функции / является положительная определенность матрицы Л [146, с. 39] Приведем следующзгю теорему необходимым и достаточным условием того, что точка х есть точка минимума выпуклой дифференцируемой функции / (х) на многообразии S, проходящем через х и параллельном подпространству, натянутому на pi,. . ph, является обращение в нуль скалярного произведения [c.263]

Пусть теперь для i = 1,. .., п оказалось возможным определить все матрицы к = 1, N) из системы (V, 54). Тогда при i = п в соответствии с выражением (1П, 109) получим = т. е. точное значение гессиана квадратичной функции/ ), а в соответствии с равенством (V, 33)и точное значение гессиана G всей квадратичной функции /. Отсюда при 1 = /г+1 найдем точку минимума (при условии, что det G 0). Для определения матрицы из уравнения (V,54) может быть использована любая формула из семейства (П, 90), (И, 91), при выводе которых не использовалось свойство сопряженности направлений. Нельзя использовать такие широкоизвестные формулы, как DFP, BFGS и др. Это связано со следующим обстоятельством. Ранее было доказано, что если матрица Hi удовлетворяет уравнению (И, 32),то направления р/, (/ = О, 1,. .., п— 1), даваемые формулой (1,41), будут сопряженными. Аналогичное утверждение справедливо, когда строят матрицу В .Следовательно, если только решение систем уравнений (V, 54) может быть проведено для всех i = 1,. .., п, то направления pi, i = О, 1,. .., ft — 1) в полном пространстве переменных X будут G-сопряженными. Однако, утверждать, что векторы будут 6< >-сонряженными, нельзя, поскольку в подпространстве переменных х направление поиска будет определяться не формулой а проекцией вектора р,- на подпростран- [c.184]

Алгоритм метода конечных элементов реализуется в двух формах I) путем разбиения области, в которой требуется найти решение, на отдельные подобласти и составления уравнений равновесия системы, представляющей собой объединение подобластей (объединение подобласте в систему осуществляется в отдельных точках на границе путем нриравнивангш в этих точках перемещений или требования уравновешивания суммы усилий) II) с использованием вариациоииых уравнений, полученных в предыдущем параграфе, путем записи этих уравнений в специальным образом подобранных конечномерных подпространствах. В этом параграфе на примерах будет показан алгоритм первой формы. [c.177]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология