Множества мера

Предположим, что ст G / ф не принадлежит замкнутой выпуклой оболочке указанного множества мер р. По теореме о разделимости компактных множеств (приложение А.3.3 (с)) существует такое Ф е X, что [c.64]

Теперь мы можем сформулировать полную эргодическую гипотезу. Почти все (за исключением множества меры нуль )) орбиты на энергетической поверхности Е проходят через каждую область поверхности Е с положительной мерой и остаются в данной обла- [c.340]

Если для любого сколь угодно малого е существует открытое множество В, которое покрывает множество Лиц, (В) <С е, то Л — множество меры нуль. Любое счетное множество на действительной прямой (множество, которому можно поставить во взаимно однозначное соответствие натуральный ряд чисел) является множеством меры нуль. Его покрытие составляют открытые интервалы, каждый длиной е/2 . [c.340]

Группа преобразований множества точек Е называется чески транзитивной, если единственными множествами, инвариантными по отношению к этим преобразованиям, является вся совокупность множеств меры нуль. Более наглядное определение таково множество Е не может быть разложено (при преобразованиях множество Е является метрически неразложимым) на два инвариантных множества ) и 2, имеюш их положительную меру. Можно считать, что 1,1 полностью перемешивает множество Е. Именно в этом механизме перемешивания (или рассеяния ) заключена сущность эргодической теоремы. Он объясняет необратимость макроскопических законов. [c.341]

Если бы хоть такие сведения имелись для всех стран, познание не только современного состояния, но и изменений, в нем происходящих по времени, месту и роду производства, выиграло бы весьма значительно. Я полагаю, что такое собрание данных, произведенное в стране несколька раз. лет чрез 10, не только указало бы множество мер. полезных для развития всего человечества и его промышленности, но и дало бы [c.409]

Просматривая обширный список, поражаешься его размерам, многочисленным принципам, представленным различными стратегиями, и разрывом между числом описанных стратегий и применяемых на практике. Несмотря на множество мер борьбы, которые вошли в список, основной упор по-прежнему делается на химический метод. [c.55]

Если Ф компактно, радиус взаимодействия конечен и все функции 3(ф(У)) непрерывны, то (1.1) —(1.3) имеют смысл для всякой конфигурации ф(2 — V). В то же время общая теория вероятностей гарантирует существование условных вероятностей лишь почти всюду. Таким образом, определение 1.3) требует, чтобы выражение, определенное почти всюду, совпадало с выражением, определенным всюду. Это обстоятельство связано с тем, что теория меры всегда строится с точностью до множеств меры О . [c.19]

Доказательство. Пусть а ба [Ях) и / Я фиксированы. На основании совпадения на измеримых множествах меры с внеш- [c.214]

Из однозначности производной с точностью до ее значений на множестве меры нуль вытекает, что билинейность левой части (2.3) относительно ф, "ф влечет билинейность и д (Я ф, я1 ). Точнее, существует множество полной меры Р с П Рф.ф такое, что для Я р [c.230]

Интегрирование по мере р можно продолжить с пространства 4 Х) на широкий класс функций, в частности, на характеристические функции многих подмножеств пространства О и определить тем самым меру этих измеримых) подмножеств. К числу измеримых подмножеств метризуемого компактного пространства относятся борелевские множества — элементы с-кольца, порожденного компактными множествами. (Непустой класс множеств называется ст-кольцом, если оп замкнут относительно операций симметрической разности и счетного объединения.) Измеримые множества — это множества вида X N, где X — борелевское подмножество, N — подмножество некоторого борелевского множества меры нуль. [c.263]

Можно развить и абстрактную теорию меры, не предполагая, что на пространстве О имеется топология (см., папример, Халмош [1]). Основной объект такой теории — это пространство с мерой (П,. е/, р), где. е/ — семейство подмножеств пространства П (измеримых подмножества), а мера р — счетно-аддитивная функция на, si. Мы предполагаем, что р > О и р Х) < оо. Изоморфизмы пространств с мерой — это сохраняющие меру преобразования, определенные и взаимнооднозначные с точностью до множеств меры ноль. Можно показать, что компактное метризуемое пространство с положительной мерой Радона является пространством Лебега, т.е. изоморфно объединению интервала действительной прямой с мерой Лебега и счетного множества (конечного или бесконечного), каждая точка которого имеет положительную меру, или массу (см. Рохлин [1]). В частности, если вероятностная мера р на компактном метризуемом пространстве не имеет [c.263]

Разбиение 21 = Ai) называется образующей абстрактной динамической системы (Г2, й/, р, г), если множества т А [к Щ порождают д/ (при помощи операций счетного объединения и пересечения и с точностью до множеств меры нуль). Разбиение 21 называется слабобернуллиевским, если для любого е > О существует такое п, что разбиение V г 21 [c.265]

Из задачи 5.24 следует, что две точки на одной и той же траектории могут иметь только одну пару констант (из 2М констант), различных для каждой из этих точек. Теперь выберем две точки,, у которых только одна постоянная движения общая, а все оставшиеся 2Л" — 1 постоянных различны. Это означает, что вторая точка никогда не может быть настигнута первой. Мы получили простую аргументацию в пользу того, что большая часть систем не являются эргодическими. Полностью убедительное доказательство этого факта было дано Розенталем и независимо Планчерелем в 1913 г. Они показали, что геометрическое место точек любой динамической траектории образует множество меры нуль на энергетической поверхности, мера которой отлична от нуля. Выра [c.338]

В случае карлемановских операторов, действующих в пространстве 2 (Я, ц), где / — локально компактное сепарабельное пространство, а ц — определенная на борелевских множествах мера, положительная на открытых множествах и конечная на компактных, можно из предполагаемой априори непрерывности спектрального ядра Р х, у, X) относительно (х, у) Я X Я сделать некоторые полезные заключения (например, доказать непрерывность индивидуальных собственных функций х Я,)). На этих результатах мы не останавливаемся (Березанский [5, гл. 5, 4, п. 31). Мы также не касаемся оценок роста на оо обобщенных собственных функций карлемановских и, в частности, дифференциальных операторов. По этому поводу см. Березанский [5, гл. 5, 51), Саймон [6] и литературные указания. [c.274]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология