Лебега

Принятые допущения о характере случайного процесса в насадочной колонне позволяют на основании формулы полной вероятности представить вероятность перехода Р М, < М , 4 ) в виде интеграла Лебега—Стильтьеса [c.351]

Рассмотрим гильбертово пространство (/н), являющееся пространством всех квадратично-интегрируемых функций на пространстве с мерой ( , М, т), где — замкнутое ограниченное подмножество трехмерного пространства, М — и-алгебра всех измеримых подмножеств с мерой Лебега и т — мера Лебега. Пространство С( ) всех непрерывных функций на может рассматриваться как подпространство (/ ). Таким образом, мы можем расширить модель, описанную в разд. 2. Обобщение может быть представлено схематично, как это сделано на рис. 1. [c.515]

Z A, 91) zf (Л, (5/2), если S — число Лебега для 91. [c.153]

Мы кратко изложили здесь теорию мер Радона па компактных пространствах (см., например, Бурбаки [1], [2]). Меры Радона па локально компактных пространствах определяются аналогичным образом (примером может служить мера Лебега на К"). Во всех случаях, специально оговоренных, меры в этой монографии считаются радоновыми. [c.263]

Мы будем называть четверку (П, р, т) абстрактной динамической системой, если (П, М, р) — пространство с мерой и т П П — обратимое отображение, сохраняющее и р. Предположим, что (П, р) изоморфно единичному интервалу (О, 1) С К с мерой Лебега. [c.264]

Пусть а принадлежит множеству I вероятностных мер на Q, инвариантных относительно т. Если ш — мера Лебега на М, то равенство <т = = а у. т,/ а х m) U) задает на fl некоторую меру а е 1. Отображение (Т <т определяет биекцию 7 и по теореме Абрамова [1] [c.274]

Если ответ на вопрос о смысле интегралов более или менее тривиален для естественнонаучных приложений оказывается достаточным рассмотрение интегралов по Лебегу (или Лебегу — Стильтьесу), го вопрос о мере сразу же наводит на мысль исполь- [c.104]

Растяжение полимерной цепи можно рассматривать как кооперативный процесс. Для уяснения качественных сторон явления можно привлечь модель Изинга [14]. Такое привлечение, по всей вероятности, для теории полимеров имеет лишь иллюстративное значение. Здесь мы покажем, во-первых, что проблема Изинга для любого числа измерений может быть сведена к вычислению статистической суммы некоторой одномерной системы, подобно тому как в гл. II термодинамические свойства трехмерной полимерной цепи вычислялись путем сведения к вычислению некоторой одномерной статистической суммы. Во-вторых, будет показано, что проблема Изинга эквивалентна задаче вычисления некоторого одномерного интеграла, который удобно рассматривать как интеграл Лебега. [c.128]

Вычислим (3) как интеграл Лебега. Чтобы пояснить суть метода, рассмотрим более простой интеграл [c.130]

Абстракция как метод в той или иной мере используется почти в каждой физической и математической работе. Создание полезных и глубоких абстрактных понятий — искусство, доступное немногим. Подобно тому, как географическая карта — памятник, запечатлевший имена первооткрывателей, наука зафиксировала имена тех, кто ввел и укоренил новые понятия. Вспомним решето Эратосфена, интеграл Лебега, пространство Гильберта, функции Бесселя... [c.7]

Сначала все шло хорошо. Были обнаружены и классифицированы точечные множества с удивительными свойствами. Эта классификация была перенесена на функции. Основным достижением данного периода можно считать выделение нескольких полезных классов функций, достаточно широких с точки зрения приложений и в то же время удобных для работы с ними. В частности, был выделен класс так называемых измеримых функций, которые можно интегрировать, если должным образом расширить понятие интеграла. Мы имеем в виду интеграл Лебега. Зная имя этого ученого, читатель при желании легко найдет полную теорию как измеримых функций, так и интеграла Лебега. Это красивая страница в истории математики. [c.75]

Указанная работа была проделана Лебегом и является составной частью образования всех профессиональных математиков. Упомянутый интеграл называется, естественно, интегралом Лебега. Мы лишены возможности подробно рассказать, как Лебег решил конкретную задачу дополнения пространства с непрерывной метрикой до пространства Ь(а, 6) квадратично-интегрируемых функций. Вместо этого мы познакомим читателя с гораздо более простой и значительно более обш ей конструкцией Г. Кантора. [c.106]

На тангенциальном разрыве р непрерывно (а, значит, и, по предположению, абсолютно непрерывно), а число Маха М имеет разрыв первого рода. Поэтому этот интеграл существует в смысле Лебега (при Л 7 0) и является непрерывной функцией ф на тангенциальном разрыве. Поэтому из формулы [c.194]

Всюду в книге под интегралом понимается, строго говоря, интеграл Лебега. Однако в подавляющем больпшнстве рассматриваемых задач с кусочно-гладкими коэффициентами и гладкими данными обобщенное решение совпадает с классическим и интегралы, входящие в нормы решений и правых частей уравнений, начальных и граничных условий, совпадают с интегралом Римана. Поэтому от читателя не требуется знания теории интеграла Лебега. В той же степени от читателя не требуется и знания теории обобщенных функций и обобщенных решений. [c.28]

При исследовании моделей двумерной квантовой теории поля естественно возникают предельные распределения Гиббса, строящиеся при помощи свободного поля [1о и гамильтониана взаимодействия Если ар = О при нечетных р, то гамильтониан обладает -симметрией. Можно было бы строить сразу предельные распределения Гиббса, беря в качестве % прямое произведение мер Лебега на прямой, а в качестве гамильтониана [c.27]

В этой модели Ф = 5" — единичная сфера в й-мерном пространстве, 1 — мера Лебега на 5 , а потенциал имеет вид [c.120]

Однако в связи с отсутствием в 1К°° стандартной меры типа меры Лебега выбор пространства 2 (1К°°) неоднозначен, поэтому нет естественного способа отождествления обычной функции с обобщенной, а это, разумеется, приводит к осложнениям. [c.68]

Замечание 3. Естественно возникает следующее обобщение задачи о продолжении цилиндрической меры в Я,, на (Я ). Пусть В — банахово пространство, содержащее Яо- В каких случаях можно гарантировать продолжение этой цилиндрической меры, понимаемой как слабое распределение, на й (В) Здесь ответ дается в более сложных терминах по сравнению с (1.43) (см. Го [1, гл. 1, 4]). Замечание 4. Гауссовы меры в конечномерном пространстве всегда абсолютно непрерывны одна относительно другой — это следует из (1.27), так как каждая такая мера эквивалентна мере Лебега в В случае гильбертова пространства абсолютная непрерывность гауссовых мер относительно друг друга будет иметь место далеко не всегда. Мы ее коснемся в 2, п. 4. [c.100]

Хорошо известно, что преобразование Фурье функций / (х) х = = ( 1,. .., л ) К") может быть построено как разложение по совместным обобщенным собственным функциям действующих в пространстве по мере Лебега йх п коммутирующих самосопряженных операторов, порожденных производными 1д дх . Эта схема не распространяется непосредственно на случай п= оо ъ связи с отсутствием сейчас меры Лебега. Однако можно перейти к гауссовой мере в 1Я , изменив должным образом операторы 1д/дх/ (чтобы они стали эрмитовыми в соответствующем г)- Возникающее при этом разложение по совместным обобщенным собственным функциям соответствующего счетного семейства коммутирующих самосопряженных операторов будет совпадать с приведенным сейчас преобразованием Фурье — Винера. Эта точка зрения будет изложена в гл. 4, 1. [c.131]

Это пространство является аналогом соболевского пространства W[ (R ) с заменой меры Лебега A на гауссову меру t). Семейство гильбертовых пространств (G (1К ))П=о обладает, очевидно, направленностью по вложению G (IR ) = Lg (IR , Vi) гз G (iR ) m. ... .. d G (IRi). ... < (/ 2+). что позволяет [c.168]

Соотношение (0.1) показывает, что оператор La строится по гауссовой мере 7i подобно тому, как строится оператор Лапласа по мере Лебега. Его замыкание, обозначаемое по-прежнему La, будет самосопряженным неотрицательным оператором в а(Ф, Vi). В этом же параграфе устанавливаются свойства полугруппы, генератором которой служит La, и приводится прямое построение связанного с ней функционального интеграла. Иными словами, строится мера vл,o на пространстве траекторий Qo = м ( ) [О, + оо) Ф со (0) = 0 , отвечающая диффузионному процессу с фазовым пространством Ф, производящим оператором La и выходящему из точки О Ф. Это построение аналогично конструкции винеровской меры по оператору Лапласа. [c.508]

Используя предыдущий шаг и теорему Лебега, получаем из (1.16) [c.515]

Лемма 2.2. Пусть а, Са (Ф )> 7х ( ) = 0, — множество тех траекторий из 0 ,, что т ( 1 ш (/) а ) = О, где т — мера Лебега. Тогда уа.х ( 3 ) = 1 для у -п. в. х Ф. [c.543]

Пусть 21 = (2ii) — открытое покрытие компактного метризуемого множества 17. Тогда существует такое 5 > О число Лебега), что если diamJi < (5, то X С 2[j при некотором i. (Это вытекает из компактности 17.) [c.134]

A il) r 2li . Это, в частности, верно, если diam IB является числом Лебега для 21.] Предел Р А), определенный в (6.11), называется (топологическими) давлением функции Л е [c.137]

Если имеется носледовательность (или сеть) отщ ытых нощ ытий 21 и для каждого 2I существует такое непустое конечное множество Л е что diam21" О, то Р(А, 2I) Р А). (Доказательство похоже на доказательство равенства (6.11) если diam служит числом Лебега для 2I, то [c.137]

Можно развить и абстрактную теорию меры, не предполагая, что на пространстве О имеется топология (см., папример, Халмош [1]). Основной объект такой теории — это пространство с мерой (П,. е/, р), где. е/ — семейство подмножеств пространства П (измеримых подмножества), а мера р — счетно-аддитивная функция на, si. Мы предполагаем, что р > О и р Х) < оо. Изоморфизмы пространств с мерой — это сохраняющие меру преобразования, определенные и взаимнооднозначные с точностью до множеств меры ноль. Можно показать, что компактное метризуемое пространство с положительной мерой Радона является пространством Лебега, т.е. изоморфно объединению интервала действительной прямой с мерой Лебега и счетного множества (конечного или бесконечного), каждая точка которого имеет положительную меру, или массу (см. Рохлин [1]). В частности, если вероятностная мера р на компактном метризуемом пространстве не имеет [c.263]

Если абстрактная динамическая система (с пространством Лебега и неатомической мерой) имеет слабобернуллиевское разбиение в качестве образующей, то она изоморфна сдвигу Бернулли (теорема Фридмана и Орнстейна). [c.265]

Через 7 = обозначим -мерный куб с ребром, содержащим п точек решетки 2 , 171 = ге . Мы будем изучать распределения вероятностей на конфигурациях ф(7), порождаемые гамильтонианом Н при обратной температуре р с периодическими граничными условиями. Через а обозначим меру Лебега на Тогда распределение вероятностей, о котором идеть речь, может быть записано в виде [c.121]

Пример 3.1. Пусть = Ф = Ф = IR , d IN. Квазиннварнантная мера (Д. на (IR ) эквивалентна мере Лебега в IR н, таким образом, имеет вид d i (х) = р (х) dx, где р > О п. в. на IR и р 1 iq,, (IR ) (см. Гельфанд, Виленкин [1 гл. 4, 5, п. 1, теорема 2]). Так как сейчас рассматриваются вероятностные меры (Ц (IR ) = 1, имеет место включение р /-i (IR ). В дальнейшем удобно пользоваться также функцией ф = р / 6 2 Для ф = (Фг..... Фй) G IR [c.555]

Если, наоборот, исходить из оператора Дирихле вероятностной меры на IR , то (при определенной гладкости ее плотности относительно меры Лебега) можно восстановить потенциальное возмущение оператора Лапласа, приводящее к данному оператору. [c.562]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология