Спектральное представление семейства коммутирующих нормальных операторов

Применениям проекционной спектральной теоремы к получению представлений семейств В = Ву)ц у операторов, связанных коммутационными соотношениями, посвящен 3. Схема здесь такова. Часто бывает, что наряду с В можно построить семейство А = (Лх)л-ех коммутирующих нормальных операторов такое, что в терминах преобразования Фурье, связанного с А, действия исходных операторов становятся достаточно обозримыми (часто А даже задано). Это приводит к описанию операторов семейства В. Подобная точка зрения широко применялась, например, в теории унитарных представлений групп (тогда А состоит из унитарных коммутирующих операторов). В 3 эту процедуру удается расширить на семейства А произвольной мощности уже, вообще говоря, неограниченных нормальных коммутирующих операторов. Рассмотрены некоторые примеры представлений (не обязательно унитарных) полупрямых произведений С групп, одна из которых коммутативна, и представлений типа канонических коммутационных соотношений. Отметим, что и здесь сохраняется закономерность если О локально компактна, то требуемое оснащение автоматически существует, в более общей ситуации его следует предполагать (или доказывать существование в том или ином случае). [c.305]

В предыдущем параграфе мы получили спектральные представления для семейства (Ах)хех коммутирующих нормальных операторов, связанных традиционными алгебраическими соотношениями. Однако связи могут быть и не традиционными. Простейший пример X = К -, [c.326]

В этом параграфе мы введем необходимый класс г. с., установим некоторые их свойства, построим необходимую для дальнейшего теорию обобщенных функций на базисе Q г. с. и затем получим спектральные представления для семейства (Ap)p Q коммутирующих нормальных операторов, реализующего представление (в определенном смысле) г. с. Отметим, что ситуация, когда Q — локально компактная коммутативная группа, охватывается этой схемой. [c.327]

Во введении к гл. 3 было пояснено, как с помощью проекционной спектральной теоремы получить спектральные представления для семейств А = (A Jxex коммутирующих нормальных операторов в Яо, связанных теми или иными соотношениями. Напомним, что согласно этой теореме справедливо равенство [c.304]

В этом параграфе мы покажем, как проекционная спектральная теорема может быть применена к получению представлений операторов, связанных определенными коммутационными соотношениями. Схема здесь такова. Предположим, что задано семейство В операторов, удов-летворяющ,их коммутационным соотношениям того или иного вида. Требуется как минимум найти представления этого семейства, т. е. найти конкретные операторы, удовлетворяющие этим соотношениям. Часто можно поступать следующим образом. С семейством В связывается уже другое семейство А коммутирующих самосопряженных (или нормальных) операторов, правила коммутации которых с операторами из В таковы, что в терминах преобразования Фурье, связанного с А, они выглядят достаточно просто. Тогда семейство представляется операторами, действующими в пространстве этих Фурье-обра-зов. Ниже реализуется такая схема и приводятся некоторые примеры. [c.362]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология