Коммутирующие операторы

СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ КОММУТИРУЮЩИХ ОПЕРАТОРОВ [c.50]

Еще раз подчеркнем коммутирующие операторы имеют общую систему собственных функций, тогда как системы собственных функций некоммутирующих операторов различны (совпадать могут лишь отдельные функции). [c.47]

Правда, в случае вырождения отнюдь не любая собственная функция одного из коммутирующих операторов обязательно будет собственной функцией другого. Но при этом всегда можно путем составления [c.47]

Коммутирующим операторам и 5г отвечают только две собственные функции (соответственно двум возможным значениям проекции спинового момента). Эти функции обозначаются символами аир и удовлетворяют следующим соотношениям [c.59]

Операторы и 8 коммутируют операторами Ь и 8 , а потому могут рассматриваться как операторы в пределах Кроме того, операторы и 8г коммутируют между собой и, следовательно, в Г/,5 существует базис, состоящий из их общих собственных функций [c.131]

Возникает стандартная для квантовой механики задача. Имеется система коммутирующих операторов. Требуется отыскать систему собственных чисел и собственных функций. Пусть х - число классов сопряженных элементов той группы, относительно которой инвариантен оператор Н. Тогда [c.195]

Основная цель приведенная изложения сводится к следующему. При переходе от теории атома к теории молекул сохраняется единообразие в описании свойств симметрии задание системы коммутирующих операторов содержит в себе всю необходимую информацию. Свойства симметрии описывают таблицами 1) характеров и 2) собственных чисел операторов К . Для октаэдрической группы эти числа приведены в табл. 4.5. [c.199]

В (СОСТОЯНИЯХ, описываемых общими собственными функциями коммутирующих операторов (см. 2), соответствующие величины [c.16]

Если на какую-либо функцию действуют два оператора, то в некоторых случаях результат не зависит от порядка, в котором действовали операторы (коммутирующие операторы), а в других зависит (некоммутирующие операторы). [c.52]

Этот результат подобен следствию из теоремы, выдвинутой ранее ( разд. 4.3.2) относительно коммутирующих операторов. В данном случае коммутируют гамильтониан и оператор Fz (см. гл. XI) и матричные элементы <Ч п <9 т> для собственных функций, принадлежащих различным собственным значениям п и т оператора Рг, равны нулю. [c.165]

В случае коммутирующих операторов [c.30]

Если в состоянии 3 несколько физических величин имеют определенное значение, то одновременное измерение всех этих величин является совместным. Другими словами, одновременное измерение физических величин, соответствующих коммутирующим операторам, не приводит к взаимным помехам. [c.49]

Уравнение (32) утверждает, что J коммутирует с .Коммутирующие операторы имеют одинаковый набор собственных функций. Таким образом, в квантовых состояниях Л также квантуется. Аналогичный результат получается для J2 и / (оператор инверсии). / переводит радиус вектор г в —г. Так как [c.70]

Парой коммутирующих операторов являются, например, операторы Чх и ЗРу. [c.50]

В разд. 4.1 мы познакомились с определением коммутирующих операторов. Ниже мы убедимся, что коммутативность двух, операторов отражает важное физическое свойство системы. [c.57]

Аналогичное определение вводится и для двух остальных компонент углового момента, 2 х и S y. Используя коммутационные соотношения (4.65), которым подчиняются операторы отдельных электронов, можно вывести коммутационные соотношения и для операторов компонент полного момента. На основании сказанного мы будем считать в общем случае угловым моментом любой вектор, подчиняющийся коммутационным соотношениям (4.65). Для полноты добавим, что оператор квадрата полного углового момента определяется аналогично приведенному выше выражению (4.66), т. е. как сумма квадратов трех его компонент типа (4.76), и что для многоэлектронного атома существуют три взаимно коммутирующих оператора ye, и S z, которые соответствуют трем постоянным движения. Для решения вопроса об измеряемых значениях полного углового момента следует прежде всего выяснить, как выразить эти величины через известные собственные значения слагающихся моментов-Подход, который применяется при сложении двух моментов, [c.64]

Вы правы. Для определения ij) (г, , ф) необходимы три независимые величины с коммутирующими операторами. В случае центрального поля операторы Н, и Мг удовлетворяют всем требованиям полного набора величин, а их собственные функции полностью определяются числами п, I и т. [c.151]

Из некоммутативности операторов , , следует, что компоненты момента не могут иметь одновременно определенные отличные от нуля значения (напомним, что таким свойством обладают лишь коммутирующие операторы). Вместе с тем, каждая из компонент момента может иметь определенное значение одновременно с квадратом момента. Обычно рассматривают состояния, в которых определены квадрат момента и его -компонента. [c.83]

Пусть а и — два коммутирующие оператора а и Ф5—" ИХ собственные функции, так что [c.51]

Мы можем поэтому выделить из операторов механических моментов различные системы, члены каждой из которых коммутируют между собой, а также с Н. Так, например, мы могли бы выбрать М , 8 8 и или М , 8 , и Далее, согласно теореме II гл. IU, собственные функции Н можно выбрать так, чтобы они явились одновременно собственными функциями всех операторов в любой из этих систем. Более того, если это сделано, то матричные компоненты перехода между собственными функциями, имеющими различные собственные значения, хотя бы для какого-либо одного из этих операторов, будут равны нулю. Поэтому, если мы возьмем такую систему линейных комбинаций описанных выше )-функций, что каждая комбинация явится собственной функцией всех операторов из совокупности коммутирующих операторов моментов, то все H j и S j в уравнении (9.21) будут равны нулю, за исключением тех комбинаций, которые имеют одинаковые собственные значения для всех операторов этой совокупности. [c.180]

Важной задачей классической механики является нахождение полного набора констант движения для любой заданной консервативной системы. В квантовой механике такая система описывается соответствующим набором не зависящих от времени операторов, один из которых есть сам гамильтониан. Можно показать, что полный набор констант движения может быть найден только при условии, что операторы, связанные с соответствующими динамическими величинами (Н, А, В,... ),все коммутируют между собой. В этом и только в этом случае может быть найдено стационарное состояние, которое описывается функцией, являющейся собственной функцией одновременно всех этих коммутирующих операторов [c.337]

Наиболее полная характеристика квантового состояния любой системы задается при помощи максимального числа точных констант движения, и поэтому для ее определения нужно найти максимальный набор коммутирующих операторов. [c.337]

Таким образом, если две кваитовомеханические величины имеют одновременно определенные значения, то отвечающие гт операторы коммутируют, и наоборот, если двум физическим величинам отвечают коммутирующие операторы, то эти величины будут одновременно иметь определенные значения. Если же операторы не коммутируют, то соответствующие физические величины либо не могут иметь одновременно определенных значений, либо имеют их только в особых случаях (далее мы приведем пример такого особого случая). [c.47]

При наличии той или иной пространственной симметрии с оператором энергии будут коммутировать в дополнении к операторам 8 и 8 ряд других операторов. В этих условиях можно поставить задачу нахождения таких фукнций, которые бы явились собственными функциями всех коммутирующих операторов (см. гл. 3). Здесь сконцентрируем внимание на собственных функциях 8 и 8 . При рассмотрении этой задачи попутно выясним на первый взгляд странное обстоятельство оператор Гамильтона системы не зависит от спиновых переменных, тем не менее энергия многозлектронной системы зависит от полного спина системы 8. [c.63]

Оператор энергии атома коммутирует с операторами поворота на произвольный угол. В случае линейных молекул с оператором энергии коммутируют операторы поворота на произвольные углы относительно оси симметрии (см. гл. 1, 4). Непрерьшная группа преобразований харак- [c.187]

Операторы симметрти в общем случае не коммутируют между собой. Установим систему коммутирующих операторов, собственные значения которых определяют тип симметрии волновой функции. Эти операторы играют в теории молекул ту же роль (в смысле классификации электронных состояний), что и операторы (Ь , Ьг) или (Я, 1 ) в теории атома. Оператор энергии электронной подсистемы зависит от электронных переменных г и от координат ядер как от параметров. Рассмотрим преобразования симметрии электронных переменных под знаком интеграла [c.188]

Из полученных таким способом детерминантных функций следует составить далее такие их линейные комбинации - функции Фр, которые бы явились собственными функциями оператора 8 и собственными функциями системы коммутирующих операторов (см. гл. 4, 1), определяющих пространственную симметрию молекулы. Индекс функции Фр объединяет некоторую систему индексов для однократно возбужденных конфигураций - два индекса (один для занятой, один для виртуальной орбитали) для двукратно возбужденных конфигураций -четыре индекса (два - для занятых, два - для виртуальных орбиталей). Многоэлектронную функцию Ф эаписьгоают в виде суммы слагаемых [c.248]

L и Lg. f ф g) не коммутируют между собой, а одноименных — коммутируют. Операторы, действующие на функции разных леременных, например [c.125]

Аналогично можно показать, что для свободной системы или для системы со сферически симметричным (относетельно начала системы координат) внешним потенциалом с оператором Гамильтона будет коммутировать оператор 1 + /бф , где 5ф - вектор поворота вокруг некоторой оси на малый угол 5ф (направленный по этой оси), аЬ - оператор момента количества движения системы как целого (например, при повороте вокруг оси г получим 1 + /5ф- г). Следовательно для таких систем сохраняется проекция момента количества движения на выделенную ось вращения, а коль скоро эта ось произвольна, то сохраняется и скалярный квадрат оператора момента [c.194]

Операции симметрии — отражение в плоскости а или враще ние вокруг оси Сг — описываются оператором 5, имеющим соб ственные значения 5 = -[-1 и и х = —1, так как справедлив следующие уравнения для собственных значений 54 2= (- -1)4 и 5 з— (—1) 3- Далее, известная теорема квантовой механик утверждает, что для коммутирующих операторов <3 и (т. е операторов, удовлетворяющих условию = О Р ) соотноше ния типа <Ч п Ч т> равны нулю, если Ч и Ч т ЯВЛЯЮТС собственными функциями оператора, принадлежащими различ ным собственным значениям д и д,п, т. е. если справедлив условие дпФ Цт. Для частного случая вероятностей переход в системе Аг эта теорема означает, что переходы Ч з- Ч I р- Ч з запрещены . Доказательство этого положения можй найти в приложении (гл. XI). Так как интенсивности лини [c.158]

Основное выражение (4.4.51) нетрудно получить из простых физических соображений. Можно воспользоваться следующим приемом. Неселективный импульс представляется в виде каскада по-луселективных импульсов, каждый из которых поворачивает лишь один из спинов на угол /3 [4.133]. Поскольку соответствующие операторы коммутируют, оператор поворота можно записать в виде произведения [c.211]

Вы правы. Даже если в выражении (111.23) справа стоит нуль, как это имеет место при коммутирующих операторах, левая часть может не равняться нулю ведь это неравенство Неравенство (П1.3) накладывает ограничение лишь на отстутствие разброса. [c.169]

Сравнение уравнений (41) и (42) показывает, таким образом, что АВ может быть эрмитовским оператором только в том случае, если АВ тождественно ВА. Иными словами, произведение двух эрмитовских операторов является также эрмитовским оператором только в том случае, если они обладают свойством коммутативности. Частным случаем коммутирующих операторов является случай двух идентичных операторов. Отсюда следует, что если А представляет собой эрми-товский оператор, то и АА, т. е. А , также является эрмитовским. [c.47]

Таким образом, если две квантовомехаш1ческие величины имеют одновременно определенные значения, то отвечающие им операторы коммутируют, и наоборот, если двум физическим величинам отвечают коммутирующие операторы, то эти величины будут одновременно иметь определенные значения. Если же операторы не коммутируют, то соответствующие физические величины либо не могут иметь [c.50]

Правда, в случае вырождения отнюдь не любая собственная функция одного из коммутирующих операторов обязательно будет собственной функцией другого. Но при этом всегда можно путем составлгаия линейных комбинаций построить общую систему собственных функций двух коммутируюших операторов (к этому мы еще вернемся). [c.51]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология