Проекционная спектральная теорема

Основная часть этой главы посвящена доказательству теоремы о разложении по обобщенным совместным собственным векторам произвольного семейства коммутирующих, вообще говоря, неограниченных нормальных операторов ( проекционной спектральной теоремы ), В этой теореме выделены проекторы на обобщенные собственные подпространства, сами спектральные интегралы континуальные. В конце главы и в главе 4 приводятся ее приложения, иллюстрирующие удобство такой формы спектральной теоремы для некоторых вопросов. [c.202]

Можно показать, что р-почти для каждого X область значения 8 (Р (X)) состоит из обобщенных собственных векторов Я , отвечающих К, т. е. в естественном обобщенном смысле Таким образом, Р (X) проектирует на соответствующее обобщенное собственное подпространство, равенства (0.3) обобщают приведенные выше равенства в случае дискретного спектра и составляют содержание проекционной спектральной теоремы для одного оператора. [c.203]

В 2 излагается процедура дифференцирования совместного p.e., понимаемого как мера, значения которой — операторы из Я+ в Я . Затем изучаются проекционные свойства найденной производной Р (X ( )) Я+ -> Я и доказывается основной результат главы — проекционная спектральная теорема. [c.205]

Пусть выполнены условия, обеспечивающие справедливость проекционной спектральной теоремы 2.7 для семейства А = (А ех, и выбрано (С гэ X =э л. В силу (2.28) (см. замечание I п. 7) [c.260]

Выясним взаимосвязь проекционной спектральной теоремы 2.7 с ядерной спектральной теоремой, установленной в работах Морена П—4]. [c.281]

Применениям проекционной спектральной теоремы к получению представлений семейств В = Ву)ц у операторов, связанных коммутационными соотношениями, посвящен 3. Схема здесь такова. Часто бывает, что наряду с В можно построить семейство А = (Лх)л-ех коммутирующих нормальных операторов такое, что в терминах преобразования Фурье, связанного с А, действия исходных операторов становятся достаточно обозримыми (часто А даже задано). Это приводит к описанию операторов семейства В. Подобная точка зрения широко применялась, например, в теории унитарных представлений групп (тогда А состоит из унитарных коммутирующих операторов). В 3 эту процедуру удается расширить на семейства А произвольной мощности уже, вообще говоря, неограниченных нормальных коммутирующих операторов. Рассмотрены некоторые примеры представлений (не обязательно унитарных) полупрямых произведений С групп, одна из которых коммутативна, и представлений типа канонических коммутационных соотношений. Отметим, что и здесь сохраняется закономерность если О локально компактна, то требуемое оснащение автоматически существует, в более общей ситуации его следует предполагать (или доказывать существование в том или ином случае). [c.305]

Изложенный подход принадлежит М. Г. Крейну [2—4] с той лишь разницей, что М. Г. Крейн использовал вместо проекционной спектральной теоремы ее эквивалент — метод направляющих функционалов, пригодный в случае конечной кратности спектра оператора Л. [c.384]

Применение проекционной спектральной теоремы к некоммутирующим семействам операторов // Укр. мат. журн.— 1988.— 40, 4.— С. 478—493. [c.669]

В четвертой главе изложены некоторые приложения проекционной спектральж.й теоремы. В 1 этой главы рассматривается ситуация, когда данное семейство комм -тнрующих операторов осуществляет представление некоторой алгебраической структуры (группы, полугруппы, линейного пространства и т, п.). В этом случае проекционная спектральная теорема позволяет получить спектральные представления для операторов семейства В качестве типичного примера упомянем об аналоге теоремы Стоуна для унитарного представления вещественного гильбертова пространства, который доказан в этом параграфе. В 2 рассматриваются семейства коммутирующих [c.9]

Пятая глава посвящена приложениям проекционной спектральной теоремы к бесконечномерному гармоническому анализу. Так, в 2 изучается бесконечномерная проблема моментов, т. е. проблема представимости функционалов при нарастающем количестве переменных в виде моментов некоторой меры на бесконечномерном пространстве (роль таких функционалов могут играть, например, функции Швингера в евклидовой теории поля). Положительно определенные функции, заданные в слое пространства 0 °°, изучаются в 3, в слое гильбертова пространства — в 4. Доказывается теорема о возможности их продолжения на все пространство н устанавливается спектральное представление (обобщение теоремы Минлоса — Сазонова на слой). В 5 излагается общая схема получения спектральных представлений положительно -определенных ядер через обобщенные совместные собственные векторы семейств коммутирующих самосопряженных операторов — 2—4 являются ее частными реализациями. Эта схема — обобщение подхода М. Г. Крейна, относящегося к одному оператору и использующего метод направляющих функционалов. В 1 этой главы изложен ряд критериев самосопряженности общих операторов. Эти критерии группируются вокруг эволюционных критериев, когда о самосопряженности можно судить по свойствам соответствующих эволюционных уравнений и вытекающего из них ква-знаналитического критерия. Результаты 1 используются как в гл. 5, так и в последующих главах. [c.10]

Во введении к гл. 3 было пояснено, как с помощью проекционной спектральной теоремы получить спектральные представления для семейств А = (A Jxex коммутирующих нормальных операторов в Яо, связанных теми или иными соотношениями. Напомним, что согласно этой теореме справедливо равенство [c.304]

В этом параграфе мы покажем, как проекционная спектральная теорема может быть применена к получению представлений операторов, связанных определенными коммутационными соотношениями. Схема здесь такова. Предположим, что задано семейство В операторов, удов-летворяющ,их коммутационным соотношениям того или иного вида. Требуется как минимум найти представления этого семейства, т. е. найти конкретные операторы, удовлетворяющие этим соотношениям. Часто можно поступать следующим образом. С семейством В связывается уже другое семейство А коммутирующих самосопряженных (или нормальных) операторов, правила коммутации которых с операторами из В таковы, что в терминах преобразования Фурье, связанного с А, они выглядят достаточно просто. Тогда семейство представляется операторами, действующими в пространстве этих Фурье-обра-зов. Ниже реализуется такая схема и приводятся некоторые примеры. [c.362]

Нашей целью является получение аналогичных приведенным выше результатов, связанных не с одним, а с бесконечным семейством коммутирующих самосопряженных операторов (А с)х х и с соответствующей проекционной спектральной теоремой. На этом пути устанавливаются теоремы о представлении (и продолжении) п. о. функций бесконечного числа переменных в слое, изучается бесконечномерная проблема моментов и т. п. Роль операторов играет счетное семейство диф4)еренцирований (0.2) по различным переменным, бесконечные семейства сдвигов типа (0.7) и т. д. [c.385]

Доказательство теоремы будет основываться на разложении по обобш,енным совместным собственным векторам семейства самосопряженных операторов Л = (Л ) в Я с использованием проекционной спектральной теоремы гл. 3. Для этого нам необходимо построить -цепочку, стандартно связанную с Л. [c.458]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология