Алгебра комплексных чисел

Представление об алгебре как о совокупности правил, согласно которым складываются или перемножаются действительные или комплексные числа, давно устарело. Уже в 20-х годах нашего столетия на первый план вышло систематическое использование абстрактных и аксиоматических методов. Алгебраические операции теперь определяются весьма общим образом и применяются к произвольным элементам. В основе алгебры (как и других математических дисциплин) лежит понятие множества. Современная математика изучает множества и их отображения друг на друга, особенно те отображения, которые учитывают определенную заданную информацию — структуру. Оказывается, что при таком подходе можно найти много общего между отдельными математическими теориями. С помощью теории математических структур можно глубже понять взаимосвязи между различными областями математики. Этот процесс обобщения и объединения в то же время усиливает универсальность применения математики в других науках. Математика, основанная на понятиях алгебраических структур, упорядоченных множеств и топологических пространств, находит широкое применение в тех областях, где неприменима классическая математика. В настоящее время математика представляет общий формальный аппарат для действий на множествах, полученный при полном абстрагировании от характера элементов, образующих множество. [c.12]

Без комплексных чисел не существовало бы основной теоремы алгебры, утверждающей, что число корней алгебраического уравнения равно его степени у квадратного уравнения два корня, у кубического — три и т. д. [c.234]

Такие функции называются ортогональными. Любые две разные собственные функции (соответствующие разным квантовым числам) одной и той же задачи всегда оказываются ортогональными. (Если эти функции являются комплексными, то подынтегральная функция должна иметь вид Вследствие этого полный набор собственных функций задачи образует полный набор линейно-независимых функций. Их можно использовать для определения функционального пространства, образующего базис для векторной алгебры. Этпм устанавливается взаимосвязь между гейзенберговским н шредингеровским подходами в квантовой мехапнке. [c.33]

Поскольку допускается, чтобы компоненты 4> были комплексными, а с другой стороны, поскольку при интерпретации теории могут встречаться только вещественные числа, то мы вводим 4 , символическую мнимо-сопряженную величину от ф ) 4 является вектором не в том же пространстве, что и 4 . а вектором в сопряженном пространстве. Его компоненты являются обычными ком-плексно-сопряженными соответствующих компонент 4 - Так как ф и 4 являются векторами в различных пространствах, то в алгебре отсутствует сложение ф и ф. Различие между фиф более фундаментально, чем между обычными комплексно-сопряженными величинами операция разбиения ф на вещественную и мнимую части не имеет никакого смысла. [c.20]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология