Матрицы представления элементов характеры

Раньше уже говорилось, что неприводимое представление получается из приводимого нахождением подходящего преобразования подобия. Важным моментом в этом рассмотрении является то, что характер матрицы не меняется при любом преобразовании подобия. Из этого следует, что сумма характеров неприводимых представлений равна характеру первоначального приводимого представления, из которого они были получены. Мы уже видели, что для каждой операции симметрии матрицы неприводимых представлений расположены вдоль диагонали матрицы приводимого представления, и ее характер-это просто сумма диагональных элементов. Когда мы занимаемся приведением представления, простейшим способом является нахождение комбинации неприводимых представлений группы, т.е. суммы их характеров в каждом классе таблицы характеров это даст нам характеры неприводимого представления. [c.218]

Сумма диагональных элементов матрицы представления называется характером и обозначается у . Из табл.З видно, что характер каждого элемента, принадлежащего к одному и тому же классу, один и тот же. Таким образом. [c.47]

Невырожденные функции, описывающие молекулу в состоянии без вырождения, бывают двух типов. Функции первого типа являются базисом представления Г1 и при всех операциях симметрии остаются неизменными, функции второго типа являются базисом представления Гг, они остаются неизменными при операциях Е, Сз, Сз и меняют знак при операциях а ( ), а Р) и а ( ) (см. табл. 8), так как в одномерном представлении его характер совпадает с единственным элементом, из которого состоит одномерная матрица. [c.85]

Характер матрицы тождественного элемента, являющейся единичной, всегда равен размерности представления [c.59]

Характерами представления называются следы матриц, образующих данное представление (гл. 1, 12). Характер обычно обозначают символом %(Я), где — элемент группы. Для неприводимого представления П ) характер, отвечающий элементу Я, обозначается через уУ ЦЯ) . [c.348]

При решении некоторых задач полезно знать матрицы, соответствующие операциям конечной группы в данном неприводимом представлении. В одномерных неприводимых представлениях матрицами являются матрицы вида 1 X 1> т. е. такие матрицы совпадают со своими характерами. Среди 32 точечных групп встречаются неприводимые представления, размерности которых равны двум или трем. Мы знаем, что неприводимое представление полностью определено, если известны матрицы, отвечающие производящим элементам группы в самом деле, соответствующая группа матриц должна удовлетворять той же самой таблице умножения, что и элементы группы. Следует сразу же заметить, что совокупность матриц представления не является единственной совокупность матриц, которая получается из первоначальной путем одного и того же преобразования подобия (эквивалентные матрицы), также образует эквивалентное представление, в принципе ничем не отличающееся от исходного. В табл. В.9 приведены матрицы, соответствующие производящим элементам 32 точечных групп. Мы выбрали для них действительные значения, сгруппировав пары комплексно-сопряженных представлений (объединенных фигурными [c.368]

Характер операции симметрии Я в представлении Гг Размерность матрицы / неприводимого представления Элемент т-й строки и и-го столбца матрицы й представления Г/ [c.75]

Начнем с изучения влияния октаэдрического поля на полное представление, для которого базис образует совокупность -волновых функций. Чтобы получить это полное представление, необходимо найти элементы матриц, которые выражают результат действия каждой из операций симметрии группы на наш базис из -орбиталей. Характеры этих матриц содержат представление, которое мы ищем. Поскольку все -орби-тали четны, т. е. симметричны по отнощению к операции инверсии, в результате операции инверсии никакой новой информации получить не удастся. Таким образом, мы можем иметь дело с более простой чисто вращательной подгруппой О, а не О . Если вы хотите убедиться в этом сами, то вспомните, что в любой группе, включающей г (например, или Сзй), соответствующая группа вращений (например, или Сз) имеет то же самое неприводимое представление для двойных произведений, за исключением нижних индексов и и д в первой группе. Напомним, что -волновые функции состоят из радиальной, спиновой и угловой (0 и ф) компонент. Радиальной компонентой мы пренебрегаем в силу ее ненаправленного характера, поскольку она не меняется при любых операциях симметрии. Кроме того, мы примем, что спиновая компонента не зависит от орбитальной и в данной ситуации пренебрежем первой. Угол 0 определяется относительно главной оси, например оси вращения, поэтому он не меняется при любом вращении и им также можно пренебречь. Меняется только ф эта составляющая волновой функции выражается как е"" . (Для -орбиталей = 2, а т, принимает значения 2, 1, О, — 1, —2.) Для того чтобы определить влияние поворота [c.75]

Между характерами матриц неприводимых представлений, как и между матричными элементами, существует целый ряд так называемых соотношений ортогональности. В частности [29, с. 41Г [c.60]

Преобразование подобия не изменяет характера. Пусть мы имеем некоторое представление Га с матрицами А(/ ) и элементами Подвергнем все матрицы преобразованию подобия. Тогда мы получим новый набор матриц ВАВ- = С и представление Гс- Докажем, что 7а —Хс, следующим образом [c.27]

Характером x(Si) представления A gi) назы- вается сумма диагональных элементов матрицы А (дг), т. е [c.79]

Все необходимые сведения о свойствах определенной группы симметрии содержатся в наборах матриц, образующих неприводимые представления группы. Эту информацию можно представить в наиболее сжатой форме, вводя определение характеров. элементов [c.189]

Введение неприводимых представлений-значительный шаг вперед в решении проблемы, связанной с размером исходных матриц. К счастью, возможно даже и дальнейшее упрощение. Вместо работы с неприводимыми представлениями можно просто использовать их характеры. Преимущества такого подхода будут достаточно хорошо продемонстрированы позже. Пока же дадим определение характер (или след) матрицы-это сумма ее диагональных элементов. Для следующей матрицы [c.201]

Определим характер представления, соответствующего повороту молекулы. Пусть при повороте на угол ф (элемент симметрии С,р) вокруг некоторой оси симметрии остаются на месте Л/с ядер. Матрица преобразования смещении каждого из этих ядер имеет вид [c.647]

Из изложенного следует, что все необходимые сведения о свойствах симметрии определенной группы симметрии содержатся в наборах матриц, образующих неприводимые представления этой группы. Однако эту информацию можно представить в еще более сжатой форме. Определим характер элемента Т рассматриваемой группы, которому соответствует матричное представление как след этой матрицы [см. (4.127)] [c.128]

Поскольку след матрицы инвариантен ко всем унитарным преобразованиям [см. (4.130)], все эквивалентные представления [т. е. те, которые удовлетворяют соотнощению (6.35)] имеют одинаковый характер. Это позволяет объединить все эквивалентные (физически идентичные) представления в одну совокупность. Более того, из тех же соображений [см. (6.42)] очевидно, что все элементы одного класса группы должны иметь одинаковый характер и что, следовательно, характер является свойством данного класса эквивалентных элементов. Далее, характер матрицы приводимого представления можно выразить в виде суммы характеров входящих в него представлений, как это непосредственно вытекает из равенств (6.38) и (6.40). [c.128]

Выведем соотношение ортогональности для характеров двух представлений. Вернемся к уравнению (20) и рассмотрим лишь диагональные элементы матрицы, так как все произведения, включающие недиагональные элементы, дадут при суммировании 0. Тогда уравнение (20) принимает вид [c.61]

Эквивалентность представлений, матрицы которых преобразуются друг в друга с помощью (П1.24), существенна тем, что при этом остается инвариантной основная характеристика матрицы — ее характер X. Характером называется сумма диагональных элементов матрицы [c.58]

По формуле (III. 31) нам необходимо знать характеры X(G) представления (приводимого) группы симметрии шара с L = 2 для всех операций G группы Ол. Для первых пяти классов эти характеры легко находятся по формуле (IV. 23) для остальных пяти — из отмеченного выше условия, что каждый элемент этих классов равен соответствующему элементу из первых пяти классов, умноженному на операцию инверсии. Так как при операции инверсии волновые функции базиса с L = 2 остаются без изменения, то характеры соответствующих матриц будут такими же, как и для первых пяти классов. Например, для элемента j, соответствующего повороту на угол л, имеем [c.79]

Матрицы этих преобразований, составленные из коэффициентов Сц, и образуют искомое представление. Зная эти коэффициенты, можно определить характеры представления — суммы диагональных элементов каждой матрицы, и затем по формулам, [c.115]

Вторая модель — модель швейцарского сыра — за исключением названия практически идентична микрофибриллярной модели. Различия носят в основном семантический характер. Модель основывается на данных по электронной микроскопии тонких срезов сильно вытянутых волокон полиамида. В эксперименте обнаруживается более высокая электронная плотность в -самих микрофибриллах в сравнении с окружающей матрицей. Как и в микрофибриллярной модели, пластическая деформация волокнистой структуры приводит к существенному растяжению межфибриллярных проходных цепей, повышая их долю и роль в проявлении прочностных характеристик материала. Но схематическое представление такого растяжения (см. [51, рис. 14]) следует заменить на схемы, приведенные в работе [57, рис. 8] или в работе [44, рис. 16], с тем, чтобы иметь возможность реализовать степени вытяжки волокнистого материала Я/ = = ХГк > 1. Сдвиговое смещение бесконечно длинных фибриллярных элементов не уменьшает поперечное сечение и не вытягивает образец. Более сомнительно предполагаемое в модели постоянство состояния проходных цепей и кристаллических блоков в пределах микрофибриллы . [c.233]

Характер представления сумма диагональных элементов в матрице преобразования) для этой операции симметрии равен двум. Матрицы преобразования для других операций таковы [c.375]

Общее число координат симметрии равно общему числу естественных координат, а для определения числа координат симметрии данного неприводимого представления, т. е. для подсчета числа нормальных колебаний каждого типа симметрии, необходимо знать свойства приводимых и неприводимых представлений. Это так называемые характеры представлений, т. е. суммы диагональных элементов (следы) матриц преобразований координат. В теории групп выводится следующая формула [c.200]

Аналогично, другой традиционно используемый катализатор - серная кислота -проявляет каталитические свойства как комплексно-связанное соединение, например на сульфатах металлов [109, 110], так и в виде ковалентно присоединенных к матрице сульфогрупп, т.е. полимерных сульфокислот [114-117]. В обоих случаях чем больше количество связанной кислоты (80зН-групп) и чем сильнее ее связь с матрицей, тем выше кислотно-каталитическая активность. Обпще представления о характере действия таких катализаторов можно проиллюстрировать на примере сульфированных сополимеров стирола с дивинилбензолом. Как и для любой твердой матрицы, и в этом случае существенную роль играет проницаемость полимерной сетки, определяемая степенью сшивки, набухаемостью, размером гранул, а также другими факторами. Химическая сторона каталитического действия сульфока-тионитов связана с наличием сетки водородных связей, кооперативных эффектов и формированием ассоциатов - центров повышенной локальной концентрации кислотных групп [182,183]. Наличие остаточной воды обеспечивает необходимую подвижность протонов, динамический характер сетки и наблюдаемое в эксперименте соотношение активности и селективности действия. Встраивание субстрата в сетку предпочтительнее, чем простое взаимодействие его с поверхностью [184-186]. Учитывая низкую полярность олефинов, например изобутилена, можно предположить электрофильные превращения его в присутствии сульфокислот через промежуточное образование спирта и последующее встраивание в сетку матрицы. Ниже приведены возможные структурные элементы полимерных сульфокислот [c.57]

Вообще говоря, теория групп представляет собой раздел математики, начало развития которого было положено в 1832 г. Эваристом Галуа в его исследованиях, посвященных решениям алгебраических уравнений. Согласно общему определению, под группой понимается совокупность (набор) произвольных математических элементов, связанных между собой некоторым законом сочетания, который обеспечивает свойства ассоциативности комбинаций [т. е. условие, что А ВС) — АВ)С и т. д.] и замкнутость набора (т. е. условие, что все члены данного набора могут быть получены комбинированием других членов этого набора). Закон сочетания элементов условно называется умножением. Согласно такому закону, для элементов группы можно построить таблицу умножения. Набор матриц, которые подчиняются правилам той же таблицы умножения, что и элементы группы, называется матричным представлением (или просто представлением, хотя под этим всегда понимается матричное представление). Простейшие возможные наборы представлений называются неприводимьши представлениями группы. Характер элемента в некотором представлении — это след матрицы (или ее итур — сумма диагональных элементов), соответствующей данному элементу в рассматриваемом представ- [c.57]

Матрицы йтих преобразований, составленные из коэффициентов Сц, и образуют искомое представление. Зная эти коэффициенты, можно определить характеры представления — суммы диагональных элементов каждой матрицы, и затем по формулам, приведенным выше, найти разложение этого представления на неприводимые представления группы Он. Типы неприводимых представлений, содержащихся в приводимых, и являются теми искомыми типами симметрии, к которым должны принадлежать комбинации Ф из волновых функций лигандов, участвующих в образовании молекулярной 0-орбитали. [c.261]

Мы уже указывали, что характером представления называется след соответствующей ему матрицы (сумма ее диагональных элементов). Характеры одномерного, двумерного и трехмерного представлений для тождественного преобразования равны 1, 2 и 3, а для операции вращения — соответственно 1, 2со5ф и l- -2 os . Последние соответствуют характерам представлений вращения в одномерном, двумерном и трехмерном пространствах. В трехмерном пространстве наряду с вращениями вокруг оси Z имеются еще вращения вокруг осей х и у. Матричные представления для каждого индивидуального вращения можно факторизовать на одно- и двумерные матрицы. Однако матрицы всех трех вращений не поддаются одновременной факторизации на одномерную и двумерную матрицы. [c.72]

Значению / == О в выражении (З.А10) отвечает единственный член, который представляет собой постоянную, а следовательно, не изменяется при вращениях. Поведение этой постоянной при тождественном преобразовании и при вращениях С( ) может быть описано при помощи одномерной матрицы, единственный элемент которой равен +1. Характеры этих преобразований также равны +1. Соответствующее представление является одномерным. Как уже было указано выше, представление, которое соответствует значению /= 1, является трехмерным. Характер тождественного преобразования в этом представлении равен 3, а характер преобразования С( ) равен l+2 os . Если / = 2, то в выражении (З.А10) ему соответствуют шесть членов х , у , z , ху, xz и yz. Однако не все они независимы, так как х у z = г . В наличии имеется шесть членов с одним соотношением между ними. Следовательно, соответствующее представление должно быть пятимерным. Представление для 1 = 2 (которое мы обозначим как D ) можно вывести из представления для /= 1 (обозначаемого как Z) ), поскольку члены, приводящие к D , являются парными произведениями членов, приводящих к Z). Это можно проделать, взяв прямые произведения (см. приложение 2) матриц (З.А1) и (З.А2) самих с собой и выполнив приведение полученного результата. Однако вместо этого достаточно воспользоваться характерами, поск ь-ку след прямого произведения двух матриц представляет собот произведение их следов. Если характеры обозначить символом X- то можно записать [c.73]

III. Характеры представлений. Сумма диагональных элементов матриц представления для калсдого элемента группы образует характеры представления, т. е. [c.691]

В табл. 13 приведен окончательный вариант матрицы U, полученный как для транс-, так и для г ыс-изомеров при отнесении частот, представленном в табл. 6. При изменении отнесения частот деформационных колебаний элементы матрицы U в целом изменяются мало . Полученные значения большинства силовых констант следует рассматривать как оценочные, дающие общее представление о характере силового поля кислого перхлориламид-иона. [c.206]

Итак, если молейула имеет N атомов, то размерность соответствующей и-матрицы N X N. На главной диагонали записываются неподеленные пары электронов всех последовательно расположенных N атомов молекулы, а недиагональные элементы определяют характер связи (одинарная, двойная, тройная и т. п.) между соответствующими атомами. Определим теперь для каждой элементарной реакции ансамбль молекулы (АМ) как совокупность молекул — исходных реактантов или совокупность молекул — конечных продуктов реакции. Нетрудно видеть, что математическое представление АМ есть блочно-диагональная i e-мaтpицa, составленная из 2 -матриц, которые находятся на главной диагонали. Совокупность всех возможных АМ образует семейство изомерных АМ (СИАМ), которое характеризует химические превращения реактантов. Конечно, множество всех АМ из СИАМ может быть однозначно представлено совокупностью Р = В ,. . ., В -Ве-матриц. Причем каждая Де-матрица содержит всю информацию о химической структуре молекул, составляющих заданный АМ, т. е. всю информацию о распределении связей и об определенных аспектах распределения валентных электронов. Поэтому каждая химическая реакция будет представлять собой не что иное, как взаимопревращение АМ вследствие перераспределения электронов между атомными остовами. [c.174]

НП размерности т (базис которого состоит из т элементов) называют т-кратно вырожденным, если т>. Дважды и трижды вырожденные НП обозначают соответственно символами Е и Т. Невырожденные НП (т=1) обозначают символами А, если оно симметрично относительно главной оси (характер соответствующей матрицы + ), и В,— если антисимметрично (—1). Для обозначения симметрии или антисимметрии относительно центра инверсии применяют индексы g (от нем. gerade—четный) и и (ungerade — нечетный) соответственно симметрию или антисимметрию относительно оси 2-го порядка, перпендикулярной главной оси, или же относительно плоскости Ov обозначают индексами 1 или 2 наконец, симметрию или антисимметрию относительно ак обозначают одним или двумя штрихами. Совокупность функций, преобразующихся по представлениям типа А, В, Е, Т обозначают а, Ь, е или t соответственно. [c.173]

Целесообразно рассматривать таблицу Менделеева как своеобразную матрицу, элементами которой являются собственно химические элементы. Роль строки выполняет здесь период, а роль столбца — группа. Совокупность этих характеристик должна обеспечивать инвариантность положения элемента в таблице. В свете современных представлений о строении атома принадлежность элемента к конкретному периоду определяется числом электронных слоев атома в нормальном, невозбужденном состоянии. Номер периода отвечает номеру внешнего слоя, который не завершен и заполняется электронами. А принадлежность элемента к той или иной группе определяется общим числом валентных электронов, т. е. электронов, находящихся на внешней и недостроенных внутренних оболочках . Например, хром [Сг1 [Arl "ЗdЧs и сера [Sl fNe] Зs 3/) являются элементами одной и той же VI группы, поскольку оба атома имеют по б валентных электронов. Отметим, что деление на периоды и группы введено Д. И. Менделеевым, который определил принадлежность элемента к конкретной группе, ориентируясь на химические свойства, в частности на форму и характер высших оксидов и гидроксидов. Действительно, такие непохожие друг на друга металлический хром и неметаллическая сера в высшей степени окисления, соответствующей номеру группы, образуют оксиды [c.8]

Поскольку характеры представлений равны сумме диагональных элементов матрицы преобразования, то при вычислении характеров всех возможных движений ядер надо учитывать только те ядра, положения равновесия которых остаются на месте при данном преобразовании. Ядрам,. которые меняются местами при данном преобразовании, соответствуют недиаго-нальные элементы матрицы преобразования, не дающие вклада в характер представления. [c.646]

Поскольку представление, соответствующее единичному элементу группы, изображается диагональной eAHHH4Hqn матрицей, то характер этого представления всегда равен размерности представления. Характеры эквивалентных представлений, т. е. представлений, отличающихся преобразованием подобия (Д, 2), совпадают. Характеры неприводимых неэквивалентных представлений взаимно ортогональны [c.691]

Для проведения приближенного моделирования в первую очередь необходимо составить информационную блок-схему и соответствующую матрицу процесса. Сначала изображается информационная блок-схема, которая в точности соответствует блок-схеме процесса, представленной на фиг. 4.1. Следует отметить, что такие никак не выделяемые с физической точки зрения элементы схемы, как трубные тройники или крестовины, отражаются в информационной блок-схеме вычислительным блоком MIXER Затем производятся такие изменения информационной блок-схемы, которые позволяют приспособить ее для проведения моделирования. При рассмотрении сернокислотного производства вначале проводятся только расчеты материальных балансов, так что функцией каждого вычислительного блока является изменение массовых расходов и составов потоков с помощью простых блоков, перечисленных в табл. 4.3. Каждому вычислительному блоку присвоено легко запоминающееся название, соответствующее характеру производимых вычислений. Например, вычислительный блок, соответствующий [c.99]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология