Математические и другие методы

Обработка данных количественного анализа методом математической статистики по малому числу измерений. Статистическая обработка результатов анализа дает возможность объективно оценить используемый метод по важным показателям, а также объективно сравнить его с другими методами. Обработка результатов хроматографического анализа методом математической статистики сводится к следующему. [c.132]

Ниже приведен ряд примеров применения математического аппарата геометрического программирования к решению конкретных задач оптимизации. Представленные задачи, которые с успехом могут быть решены и другими методами, естественно не претендуют на то, чтобы показать все возможности рассматриваемого метода, а являются лишь иллюстрацией основных аспектов его использования. [c.557]

Из этого рисунка и табл. 12-3 видно, что разница между обоими распре-делениями при п = 20 уже настолько мала, что практически может не приниматься во внимание. С развитием теории вероятностей и математической статистики за последние 50 лет были разработаны и исследованы также другие методы распределения (например, так называемое / -распределение для сравнения дисперсии двух совокупностей). Подробно эти вопросы освещены в специальной литературе [2], [c.259]

Аналогичный аналитический метод расчета может быть распространен на сырье любого состава, если известны групповые составы сырья и продуктов и следовательно, может быть, в отличие от других методов, использован при математическом моделировании. Так, если гидрокрекингу подвергается смесь нафтенов и парафинов, то можно рассчитать теплоту процесса, предполагая предварительный переход нафтенов в парафины N +Н - -Р. Убыль нафтенов для определения затрат тепла нужно, очевидно, умножить на теплоту гидрогенолиза нафтенов (АНк .р) и далее провести расчет по соотношению (Х.14), предполагая превращение только парафинового сырья. [c.357]

Точность математического описания можно оценить и другим методом. Если для широкой области начальных условий проведено к опытов, причем для г опытов определены коэффициенты [c.140]

На основе математических методов химической термодинамики можно рассчитывать температурные профили для анализа процессов типа равновесный выход — температура, равновесный выход — тепловые эффекты и другие. Методы химической термодинамики являются теоретической основой для создания математических моделей различных физико-химических процессов процессов испарения и конденсации, кристаллизации и растворения химических промышленных реакций разного типа и сложности, как это было показано в приведенном выше материале. [c.260]

Кинетические зависимости и стадии, определяющие / скорость процесса взаимодействия газа с твердой частицей, находят путем изучения характера изменения степени превращения вещества, составляющего твердую частицу, и влияния на нее изменения размеров частицы и температурных условий процесса. Эти данные получают различными экспериментальными методами. Одними методами предпочитают пользоваться вследствие простоты оборудования и возможности обойтись подручными материалами, другие методы основаны на применении направленного эксперимента и на соответствующей математической обработке результатов. [c.342]

В настоящей главе в общих чертах поясняется порядок расчета с помощью изложенных ранее термодинамических соотношений и описываются некоторые математические методы вычисления равновесных параметров парожидкостных систем. Можно пользоваться и другими методами те, которые предлагаются в данной работе, были развиты и применены ее авторами. [c.54]

Основные особенности метода МКЭ будут рассмотрены в следующем разделе. Такое внимание к методу МК.Э оправдано также тем, что он с успехом применяется при математическом описании других методов формования [22] (например, для описания течения в головках экструдеров и литьевых формах). [c.595]

Нельзя не отметить, однако, что в работах Г невозможно отграничить физико-математические аспекты от философских. И те и другие методы познания природы выступают в этих работах удивительно слитно, во взаимном дополнении. Не упуская из виду специальную физико-математическую сторону работ Пригожина, нам хотелось бы здесь отметить в них методологическую сторону, с которой связаны идеи не только об эволюции природы, но и об эволюции науки о природе, о достижении такого уровня развития естествознания, на котором природа впервые воспринимается в необратимом движении по координате времени. [c.212]

Успешное решение задач повышения эффективности сложных химико-технологических процессов и качества выпускаемой продукции во многом зависит от обеспечения рациональных режимов ведения процессов. Особую трудность представляют производства, исследования которых на действующих объектах и с помощью физического моделирования являются недостаточными для определения оптимальных режимов работы. При изучении таких процессов возрастает роль математического моделирования, дополняющего другие методы исследования. [c.118]

Другой метод анализа распределенных систем, обычно применяемый при решении дифференциальных уравнений в частных производных на вычислительных машинах, основан на представлении непрерывного процесса многоступенчатым с сосредоточенными параметрами в каждой ступени. В зависимости от принимаемых допущений относительно механизма процесса массопередачи в ступени, а также способа представления движущей силы возможны некоторые разновидности математических моделей (модели 2 и 3). [c.243]

Другой метод, метод слоя конечной толщины, был предложен голландскими физиками (Ван-дер-Ваальс и др.) [2—4]. В методе слоя конечной толщины используются не избыточные, а полные значения соответствующих параметров поверхностного слоя, которые имеют более ясный физический смысл. В математическом отношении это приводит, однако, к более сложным выражениям. В этом методе реальная система представляется состоящей из двух однородных объемных фаз и поверхностного слоя, обладающего толщиной б и отделенного от объемных фаз двумя разделяющими поверхностями. [c.13]

Таким образом, цифровые системы с пренебрежимо малой погрешностью квантования по уровню и импульсные системы с амплитудной модуляцией относятся к линейным дискретным системам. Для математического описания этих систем, как и для описания линейных непрерывных систем, используют два метода, один из которых предусматривает нахождение связей между выходными и входными величинами элементов систем посредством передаточных функций, а другой — применение переменных состояния. В том и другом методах полезными оказываются математические операции, основанные на описании импульсных сигналов посредством решетчатых функций. [c.209]

В этой главе мы рассмотрим, как физическая адсорбция газов используется для оценки удельной поверхности непористых твердых тел или, более конкретно, как с помощью изотермы адсорбции, используя методы математического анализа или какие-либо другие методы, рассчитать емкость монослоя для данного адсорбента. Емкость монослоя определяется количеством адсорбата, которое может содержаться в целиком заполненном монослое молекул на поверхности твердого тела. Если принять, что л —емкость монослоя в граммах адсорбата на грамм твердого тела, М — молекулярный вес адсорбата, а Ат — площадь (А ), занимаемая молекулой адсорбата в заполненном монослое, то удельная поверхность 5 м -г ) будет определяться соотношением [c.47]

При использовании математической модели линии в виде уравнений (9.33), (9.34), (9.49) с линейными граничными условиями переходные характеристики можно рассчитать операционным методом. Для решения такой задачи необходимо осуществить переход от предварительно вычисленных изображений расхода или давления к оригиналам. Этот последний шаг является наиболее трудным и может потребовать выполнения достаточно сложных математических операций. Тогда более целесообразно воспользоваться другими методами решения указанных выше уравнений в частных производных. Применение ЭВМ позволяет рассчитывать процессы в линии с учетом нелинейных граничных условий. [c.281]

Вопрос о необходимой полноте математического описания процессов решается дифференцированно в зависимости от целей и задач проектирования. Так, при выборе схемы разделения целесообразно использовать приближенное математическое описание процессов при определении технологического режима и параметров разделения по отдельным аппаратам в большинстве случаев бывает достаточно применения точных термодинамических расчетов, т. е. методов расчета, основанных.на решении системы уравнений материального и теплового балансов и фазового равновесия. Кинетический расчет аппаратов, учитывающий влияние реальной. гидродинамической обстановки и конечных скоростей тепло-массопередачи на эффективность процесса, целесообразно использовать при таких условиях разделения, когда применение других методов расчета приводит к незначительным расхождениям с фактическими данными о работе промышленных колонн, например, при разделении сильно неидеальных смесей, при необходимости точного определения содержания примесных компонентов в продуктах, при уточнении нагрузок по сечениям колонны и т. д. [c.26]

Математическая сущность метода Брауна достаточно полно и ясно изложена в работе [279], поэтому опишем кратко лишь его основную идею. Метод заключается в последовательной линеаризации каждого из уравнений исходной нелинейной системы, получении из этого линеаризованного уравнения явного выражения очередной переменной и подстановки ее во все нелинеаризованные уравнения. И так до тех пор, пока не будет получено выражение для последней переменной, в котором она уже не зависит от других переменных. Далее осуществляется обратный ход (как и в методе Гаусса) для получения искомых значений всех переменных. [c.121]

Таким образом, для современной практики и дальнейшего развития методов проектирования регулируемых систем очень важно определение математической модели объекта. Следует отметить также, что в теории регулирования основное внимание всегда уделялось методам синтеза и другим методам проектирования оптимальных регулируемых систем, тогда как методы идентификации динамических характеристик регулируемых систем до настоящего времени разработаны недостаточно полно и не вполне удовлетворительно. [c.18]

Возникает вопрос, почему следует заниматься именно физико-математическим анализом и почему неприемлемы другие методы идентификации характеристик систем, которые не требуют, например, проведения специальных экспериментов с изменением входных переменных и построения математических моделей по информации, полученной путем измерений. Следует указать, что второй метод анализа имеет свои преимущества и свое место в приложениях, однако в некоторых случаях физико-ма-тематический анализ совершенно необходим. Так обстоит дело, когда объект регулирования еще не существует и нельзя проводить эксперименты и измерения. Кроме того, физико-математический анализ дает возможность судить о том, как некоторые физические и конструктивные параметры влияют на ход динамического процесса. И наконец, опыт учит, что и при проведении экспериментов на системе и при преимущественном использовании информации, полученной путем измерений на объекте, всегда желательно иметь хотя бы приближенные или качественные результаты физико-математического анализа и производить оценку неизвестного решения. В этом случае целесообразность физико-математического анализа не вызывает сомнений. [c.19]

Основная ценность метода противоточного распределения состоит в том, что он в отличие от других методов экстракции позволяет разделять и идентифицировать вещества с очень близкими коэффициентами распределения. Поэтому противоточное распределение является не только эффективным методом препаративного выделения веществ, но и очень чувствительным аналитическим методом и методом идентификации веществ. За короткое время противоточное распределение, имея точную математическую основу, стало таким же ценным вспомогательным методом, как и фракционная перегонка, с которой имеет много общих черт. Во многих случаях теоретические основы противоточного распределения разработаны более глубоко и точно, чем основы фракционной перегонки. [c.410]

Такая система может быть решена относительно неизвестных при условии рп>т р- -п). Необходимо подчеркнуть, что полученная таким образом система уравнений будет нелинейной и ее решение может наталкиваться на существенные математические трудности [125]. На практике спектрофотометрический анализ смесей с неизвестными м. п. л. всех нли части компонентов осуществим лишь в тех случаях, когда исходная система может быть сведена к определенной линейной системе уравнений либо путем упрощений, либо путем привлечения дополнительных данных, полученных спектрофотометрическим или другим методом. [c.87]

В настоящей монографии сделана попытка, на основании литературных данных и собственных исследований авторов, систематизировать накопленный фактический материал по аналитической химии рения. Кроме того, в первых двух главах, посвященных общим вопросам, большое внимание уделено характеристике основных соединений рения в различных валентных состояниях и состояния рения в растворах, что особенно важно при выборе методов анализа, выделения и определения рения после разложения содержащих его материалов. В книге изложены результаты проводившихся в ГЕОХИ АН СССР исследований по изучению химико-аналитических свойств разновалентного рения и комплексообразования рения(1У), (V) и (VI) с различными лигандами, по исследованию состояния рения в средах, имеющих важное технологическое и аналитическое значение, с привлечением математических методов обработки экспериментальных данных, а также по разработке экстракционных, хроматографических, электрохимических, спектрофотометрических, полярографических, активационного и других методов выделения и опреде-ления рения, которые в течение ряда лет выполнялись под руководством Дмитрия Ивановича Рябчикова. [c.5]

Однако уравнения регрессии оказываются очень ценными, если их использовать для решения экстремальных задач — определения оптимальных условий протекания технологических процессов, оптимальных составов приготовления смесей, для статической оптимизации управляемых объектов и ряда других задач. Математическая модель в виде уравнения регрессии весьма удобна, так как позволяет легко проводить ряд математических операций (методом наименьших квадратов, наращиванием полинома), а также дает возможность широко использовать ЭВМ при обработке экспериментальных данных. Отметим также, что именно появление ЭВМ подняло ценность полиномиальных моделей объемы вычислительных работ при расчете коэффициентов регрессии достаточно велики и ранее это ограничивало возможности статистических исследований. [c.194]

Ряд методов оптимизации, как, например, динамическое программирование, дает достаточную информацию о чувствительности оптимума уже в процессе их использования для решения оптимальных задач. Другие методы менее приспособлены к анализу чувствител ,-ностн оптимума. Лишь для задач линейного программирования имеется до некоторой степени разработанный математический аппарат (параметрическое линейное программирование), позволяюи1Ий изучать поведение оптимального решения при измеиенпи коэффициентов математического описания . [c.39]

Кроме балансового в плановой работе используются и другие методы экономического анализа и синтеза, прямого счета, расчета по факторам, экстраполяцгпг и итерации, экономико-математические методы (линейного программироваипя, Д1И1амического программирования, матричный и др.), метод экономико-математического моделирования. [c.72]

Обычно методы теорий размерностей и подобия относят к методам физического моделирования. Однако они, как и любые другие методы моделирования, основаны на сочетании экспериментальных и расчетных исследований. Теория размерностей используется для постановки и обобп ения результатов экспериментальных исследований, когда по каким-либо причинам создание математического описания на основе уравнений балансов вызывает затруднения. При этом целью исследования является не нахождение оптимальных условий (оно рассмотрено в главе I), а получение уравнений для расчета коэффициентов, характеризующих гидродинамику, тепло- и массоперенос. Эти уравнения обычно предполагается использовать при проектировании подобных систем. Методы теории размерностей позволяют упростить исследование и сделать его более общим за счет перехода от размерных переменных к полученным из них безразмерным комплексам. [c.130]

И. Следуег развивать исследования путем аппроксимации совершенных, но громоздких комплексных технико-экономичес-ких моделей с привлечением математического аппарата, например теории сплайнов и других методов. Реализация этой задачи позволит подойти вплотную к корректному и простому решению более сложных задач оптимизации технологических, энергетических и транспортных установок на основе простых и надежных технико-экономических аппроксимативных моделей, адекватных их более сложным аналогам — исходным моделям. [c.317]

Другие методы расчета, позволяющие математически моделировать поведение смесей, описывают Мац [73], Кортюм и Бух-гольц—Майзенхаймер [74], Бошнякович [75] и особенно подробно Шуберт [17]. [c.74]

Согласно другому методу, строится график зависимости содержания капель, которые меньше данного размера, от размера капель. Он представляет собой S-образную кривую (рис. III. 14). По ней можно определить средний диаметр, т. е. размер более чем 50% йапель. Математически кривая выражается следующим образом [c.159]

Мы воспользуемся другим методом расчета скорости, предложенным Мелвином—Хюзом, который прост математически и более нагляден. [c.285]

Строение атомов, имеющих на своих энергетических уровнях несколько электронов, весьма сложно и его нельзя точно математически рассчитать,как это осуществимо для атома водорода и водородообразных структур типа Не" и Однако можно с достаточной степенью точности оценить строение атомов элементов, пользуясь в первую очередь периодической системой элементов Д. И. Менделеева, законом Мозли, а также используя теорию строения атома водорода. Критерием правильности наших суждений является обширный материал спектральных исследований, а также других методов исследования внутреннего строения атомов и молекул. [c.44]

Таким образом, математическое описание области допустимых режимов представляет собой совокупность условий, включающую линейные и нелинейные уравнения и неравенства (17.3) —(17.6), (17.9), (17.13) и (17.14). В связи с тем что некоторые характеристики активных элементов могут быть составлены из двух и более аналитических зависимостей (соответствующих различным диапазонам изменения основных переменных) или даже принимать лишь дискретные значения, ясно, что данная система условий может иметь и такие нелинейные соотношения, которые недифференцируемы в отдельных точках или связаны логическими условиями и требованиями дискретности. Все это резко ограничивает, а в общем случае и исключает применение традиционных математических методов, опирающихся на непрерьшность и дифференцируемость функций, составляющих математическую формулировку задачи. Поэтому речь должна идти о специальных методах (типа метода динамического программирования и другах методов поиска экстремума), оперирующих по возможности лишь со значениями функций, а также максимально учитьшающих специфику этих [c.237]

Другой метод фильтрации, который в настоящее время широко используется, был предложен в [221]. Он был успешно применен в разнообразных системах н использует так называемый интегрирующий цифровой фильтр. Интегрирующий фильтр является простым и элегантным алгоритмом этот факт может быть легко скрыт математическим формализмом, требуемым для его полного описания. Попросту говоря, интегрирующий фильтр представляет собой специальный способ усреднения группы смежных каналов спектра, в котором среднее значение присваивается центральному каналу фильтра и помещается в канал в новом спектре, который мы будем на,зывать фильтрованным спектром. Фильтр перемещается затем на один канал, и получается новое среднее . Процесс повторяется до тех пор, пока не будет пройден весь спектр. Фильтр не изменяет исходный спектр данные из исходного спектра лишь используются для получения нового спектра. Усреднеиие происходит следующим образом. Фильтр (рис. 8.11) делится на 3 части центральная часть, или положительный (+) лепесток, две боко- [c.116]

Все обсуждаемые в литературе структурные модели жидких растворов, как известно, основаны на физических или математических допущениях. Исходя из этого, можно условно выделить три типа моделей [128]. Во-первых, физико-химические, посредством которых по сути "интуитивные" концепции определяющих структурных особенностей (свойств) жидкости дают возможность (по крайней мере, в первом приближении) количественно оценить результаты статис-тико-механической или термодинамической обработок. Во-вторых, теоретические модели, в том числе "решеточные", посредством которых упрощенные версии общих теорий жидкого состояния в приложении к молекулярно-геометрической структуре позволяют получить жидкость (хотя часто и весьма идеализированную) с определенным набором свойств. И, в-третьих, молекулярно-динамические (а также модели, соответствующие другим методам численного экс- [c.161]

Материал, положенный в основу данного обзора, тщательно подобран с точки зрения практической ценности для химика-органика, интересующегося применением методов ЯМР-спектроскопии к проблемам строения органических ч оединений. Некоторые области ЯМР не получили в обзоре освещения к их числу относятся проблемы ЯМР-спектроскопии твердых тел. Основное внимание уделено протонному резонансу, и лишь вкратце изложены результаты обширных исследований резонансов других ядер со спином /2 или ядер, обладающих квадру-польным моментом. Причина такого подбора материала совершенно очевидна в настоящее время именно в отношении высокоразрешающей протонной ЯМР-спектроскопии Жидкостей наиболее убедительно продемонстрирована самая общая применимость к решению тех проблем, с которыми сталкивается химик-органик. Несмотря на такой практический подход, обзор содержит значительные по объему разделы, посвященные теоретическим, а иногда и математическим аспектам метода. Это вытекает из убеждения автора в том, что использование ЯМР в химии уже теперь носит гораздо менее эмпирический характер, чем, скажем, инфракрасных спектров, и что в дальнейшем тенденция к устранению эмпиризма окажется еще более сильной. Не вызывает сомнения, что квалифицированное использование ЯМР требует более глубокого понимания основных принципов, чем любой другой спектроскопический метод из числа широко распространенных в органической химии. Физики, разработавшие теорию ЯМР-спектроскопии, сделали все возможное, чтобы их выводы и использованные Ими методы были понятны (другим физикам), поэтому вполне целесообразно затратить некоторые усилия, с тем чтобы изложить основы ЯМР-спектроскопии в доступной для химиков форме. В данном об зоре мы ограничимся изложением только тех вопросов теории которые имеют непосредственное отношение к установлении структуры соединений более полно физические принципы и математические аспекты ЯМР-спектроскопии изложены в превосходной книге Эндрю [5]. Отметим также обзорную статью Вертца [54] и опубликованные в последнее время монографии Робертса [55], Попла, Шнейдера и Бернстейна [117] и Джекмана (118]. [c.256]

К такому же явлению на кривой р (Г) приводит и другой метод расчета радиальной функции распределения — метод условных функций распределения, предложенный нами [8]. В отличие от метода коррелятивных функций в варианте суперпозиционного приближения метод условных функций распределения использует не математическую аппроксимацию, а исходные физические приближения метода ячеек, но в улучшенном варианте. Можно строго ввести условную функцию распределения, которая определяет вероятность обнаружения атома в каком-либо элементе объема, если задано положение центра ячейки. Положение центра ячейки и локализация движения атома в ячейке характеризуются единичной функцией, равной нулю, если конец вектора, обозначаюш,его положение атома, находится вне ячейки определенного объема А . Такая условная функция распределения позволяет составить ядро интегрального уравнения, свя-зываюш его функцию распределения атомов и новую функцию распреде ления центров равновесия или центров ячеек, в которых локализовано движение атомов. Эта новая функция распределения не должна значительно отличаться от функции распределения атомов и может быть выражена через последнюю путем усреднения по объемам Аг следующим образом [c.335]

С другой стороны, эти положительные особенности уживаются вместе с рядом недостатков. Трехтельный подход не служит заменой физического понимания процессов рассеяния на малых расстояниях эти эффекты важны в трехтельной теории, так же как и в любом другом методе. Необходимость введения сепарабельных приближений для практических целей ограничивает возможность исследования структуры двухтельных взаимодействия на малых расстояниях в рамках специфических моделей. Более того, довольно сложные математические инфраструктуры препятствуют прозрачному пониманию основных физических механизмов. [c.151]