Функции линейно независимые

В основе такого метода лежит представление об ортогональных функциях [13]. Условием ортогональности системы действительных линейно-независимых функций (х) с весом р (дс) иа конечном отрезке а, Ь) является соотношение [c.164]

Так как по условию выбора базисных координат функции линейно независимые, то определитель, который является коэффициентом при старшей степени в разложении основного определителя А(р), [c.94]

Все функции линейно независимы, т. е. ни одна из них не может быть выражена как линейная комбинация других. Зато линейные функции АО 5, х, у, г могут быть представлены в виде линейных функций от ф [c.38]

Для упрощения последующих формул введены матрица попарных скалярных произведений функций линейно независимого базиса [c.28]

Методы данного класса (см., например, [95]) различаются выбором для удовлетворения (3.164). Для квадратичной функции Ф(0) любой ряд из п линейно-независимых шагов приводит к С = А , и минимум Ф может быть найден за (п - - 1) шаг. Однако для неквадратичных функций приходится решать задачу отыскания минимума вдоль выбранного направления, что существенно усложняет [c.217]

Как было показано Гайтлером и Румером, число линейно-независимых многоэлектронных спиновых функций 0и, полученных методом спиновых спарива йий п валентных орбиталей, составляет [c.162]

Строго говоря, получение точных решений уравнений (68) предполагает бесконечный базис функций, т. е. требует решения бесконечной системы уравнений. Но, как показал Рутан и как подтверждает обширная расчетная практика, удовлетворительного приближения можно достичь и при конечном базисе АО. При этом многое зависит от выбора базиса — его размеров и качества. Расширяя базисный набор путем добавления новых линейно-независимых функций, можно достичь такой ситуации, когда вычисляемые характеристики системы (орбитальные энергии, наборы коэффициентов и т. д.) окажутся нечувствительными к дальнейшему расширению базиса. В этом случае говорят о достижении хартри-фоковского предела. Предельный базисный набор АО дает очень точные результаты, почти такие же, как при численном интегрировании уравнений Хартри — Фока. Однако увеличение числа АО в базисе сопровождается существенным возрастанием вычислительных трудностей. Поэтому в реальных расчетах, особенно сложных многоатомных систем, используют базисы укороченные по сравнению с предельными. [c.180]

Когда подобная линейная зависимость не существует, функции называют линейно независимыми, а тождество (11,226) выполняется лишь при условии, что все коэффициенты а, р,. . б одновременно равны нулю. [c.44]

Кибернетическая система, реализующая алгоритм обучения (2.17), соответствует персептрону. В отличие от классических схем персептронов, основанных на пороговых элементах, здесь использованы элементы, описываемые произвольными линейно независимыми функциями (х) [4]. Блок-схема персептрона с алгоритмом обучения (2.17) показана на рис. 2.3. [c.89]

О, 2, I = 1, п- функции ФГ И = фГ, л е Хг), г = 1, п, А = О, т = О, 2 принадлежат Ь (0, 1) и линейно независимы в совокупности. Для сокращения записи введем следующие обозначения [c.149]

Это соотношение служит основой для перехода от весовой функции к дифференциальному оператору динамической системы. Здесь число п, т. е. порядок искомого дифференциального уравнения, определяется числом линейно независимых функций в разложении (г, х). [c.294]

В функциях (5.8) —(5.П) частицы распределены между всеми слагаемыми, и их нельзя идентифицировать, т. е. различить. Если при перестановках аргументов возникают линейно-независимые функции (как это предполагалось в приведенных примерах), из М возможных функций можно построить только одну симметричную функцию и только одну антисимметричную. [c.21]

Так как функции е / линейно независимые, то уравнение (9.87) должно удовлетворяться нри выполнении равенства [c.418]

Линейная комбинация — комбинация посредством двух действий умножения каждой из функций на число и последующего алгебраического сложения. Линейно-независимые функции — такие, линейная комбинация которых не обращается тождественно в нуль (кроме =. .. = с = 0). [c.54]

Важность понятия базиса неприводимого представления состоит в том, что вследствие соотнощения (1.100) линейно независимые функции оператора Н, соответствующие ш-кратно вырожденному собственному числу, образуют базис неприводимого представления размерности т. Таким образом, не решая уравнения (1.98), а только изучая симметрию оператора Н, можно определить кратность вырождения энергетических уровней и установить тип симметрии волновых функций. [c.38]

Однако наряду с нелокализованными системами (газами, жидкостями и др.) существуют системы, для которых учет требований перестановочной симметрии (эти требования накладываются на всякую систему, ибо в природе существуют только бозоны и фермионы) не снижает числа возможных микросостояний. Это так называемые локализованные системы. Примером такой системы являются атомы твердого тела, образующие кристаллическую решетку. Частицы (фермионы или бозоны), локализованные в пространстве, теряют свою неразличимость (прикованность частиц к разным местам создает между ними различие, и частицы можно отличать друг от друга и нумеровать). Так, для локализованных систем число линейно-независимых волновых функций, полученных перестановками частиц, совпадает с числом линейно-независимых функций, удовлетворяющих условиям симметрии. При подсчете числа возможных микросостояний и вычислении средних в таких системах можно игнорировать условия симметрии. Квантовая статистика, в которой можно не учитывать [c.287]

Лемма .При сделанных предположениях относительно функций ф функции 0 1 к = 0, т = 0, 2, линейно независимы в совокупности. [c.149]

Задача линейного программирования сводится к нахождению экстремума линейной функции нескольких независимых переменных с учетом ограничений в виде системы линейных неравенств, в которые входят независимые переменные. При этом предполагается, что значения независимых переменных не отрицательны [74, 75]. [c.181]

Сравнение этого выражения с формулой (У.8б) показывает, что для квадратичной функции после п шагов в линейно независимых направлениях матрицы // и (лг") 1 совпадают с точностью до множителя р 0. В общем случае матрицы аппроксимируют гессиан целевой функции, и эта аппроксимация тем точнее, чем меньше изменяется гессиан в процессе движения к экстремуму. [c.211]

На основе описанного построения сопряженных направлений можно получить ряд алгоритмов. Прежде чем перейти к их подробному описанию, заметим, что для неквадратичных функций может не выполняться линейная независимость уо,. . ., Нетрудно показать, что линейная зависимость этих векторов приводит к равенству е,- = О, если определяется с помощью процесса ортогонализации, или к Р,-.]Уг i=0, если р, находится из (П,60), (11,64). [c.45]

Итак, примем, что на итерации к построено п линейно независимых направлений и имеются приближенные значения производных функции f вдоль направления у. Обозначив их через уц, получим [c.139]

Физический смысл этих математических преобразований следующий. Существование г линейно независимых функций вида [c.119]

Г. Вейль установил общую формулу подсчета числа линейно независимых детерминантных функций М(Л , 5, и) для произвольного числа Л -злект юнов, для произвольного, совместимого с заданным значением [c.69]

Лемма 5. Пусть пересечение ядра оператора с линейньт подпространством, порожденным функциями Ф , А = О, iV , т = = О, 2, содержит только нулевой элемент пространства г(0, 1), тогда при выполнении предположений леммы 1 функции линейно независимы в совокупности. [c.152]

Из уравнения (П1,48) следует, что в рассмотренном приближении (пренебрегая парами атомов, удаленными в цепи химического действия более чем на два атома) некоторое свойство Р молекулы выражается как однородная линейная функция линейно независимых чйсел n J , т. е. чисел связей (или пар непосредственно связанных атомов) разных видов (разновидностей), встречающихся в молекуле. Эти числа для каждой молекулы полностью определяются формулой ее химического строения. Эффективные постоянные Puv, сопоставляемые связям отдельных видов, выражаются в конечном счете линейными комбинациями парциальных значений Р > p ui, p s, P Jvs" сопоставляемых атомам и парам атомов разных видов. В рамках классической теории конкретные значения парциальных величин р , pjf , р[,, и, следовательно, значения величин Puv Puv теоретическим путем вычислены быть не могут. [c.68]

Ю. Б. Румером был предложен также графический метод построения линейно-независимых наборов ц, согласно которому каждой одноэлектронной функции сопоставляется точка окружности или иной выпуклой кривой на плоскости и затем эти точки попарно соединяются отрезками прямых линий каждый отрезок изображает двухэлектронную спиновую функцию 7(г,/). Многоэлектронные спиновые функции, отвечающие диаграммам Румера с непересекающимися штрихами, образуют линейно-независимый базис для разложения (64), а остальные будут тогда их линейными комбинациями. [c.162]

Функция Ф, а также все другие функций, полученные из Ь(х,. Т1, О любыми перестановками (обменом) координат 1, 2, 3. .., М, удовлетворяют временному уравнению Шредингера (3.4). 1Так как всех перестановок существует N1, можно Йылбйы получить N1 новых функций (новых состояний), причем возможен случай, когда все эти V/ функций (состояний) будут линейно-независимыми. Естественно, возникает вопрос, реализуются ли в природе эти возможные новые перестановочные состояния. [c.20]

Для объяснения такого монотонного поведения энтропии Больцман, а затем Планк выдвинули гипотезу, что каждому макроскопическому состоянию с заданной энергией можно приписать определенный статистический вес (термодинамическую вероятность), под которым следует понимать число микросостояний, совместимых с указанным макросостоянием. Для системы, находящейся в определенном энергетическом состоянии с уровнем энергии каждая линейнонезависимая функция определяет одно микросостояние, а поэтому статистический вес следует определить, как число линейно-независимых функций, соответствующих данному уровню Если энергия системы определена макроскопически, т. е. задана средней энергией Е, под статистическим весом следует понимать совокупность микросостояний, которые соответствуют этой средней энергии. Разные макросостояния будут иметь разные вероятности их реализации, и процесс достижения термодинамического равновесия, следуя Больцману и Планку, в замкнутой системе можно интерпретировать в среднем как переход от менее вероятных состояний к более вероятным, т. е. [c.289]

Покажем, что линейно независимые детерминантные функции, построенные из функций ортонормированной системы Фр , являются орто-нормированными. Рассмотрим интеграл от произведения детерминант-ных функций ZJpj рд, и построенных из спин-орбиталей [c.57]

Множество таких линейно независимых детерминантных функций и образуют полную (ортонормированную) систему функций для антисим-метричн1.1Х функций Л -переменных. Для того чтобы иметь дело только [c.57]

Если принять во внимание явный вид дублетных спиновых ( )ункций (1.83) и (1.84) для трехзлектронной системы, то нетрудно убедиться, что каждая из базисных функций в (2.48) является собственной функцией 8 и 8г. В трехзлектронной задаче имеются две линейно независимые дублетные спиновые функции с Ms = Л. с чем и связано появление в (2.48) двух взаимно ортогональных функций и Ф при условии р Ф д Ф 1. Если же два из трех индексов р, ц, I совпадают, то в разложении возникает только один тип детерминантов Фр ,. После некоторых размышлений можно понять и указанную в (2.47) область изменения индексов. [c.69]

При дальнейшем увеличении числа электронов формулы становятся все более громоздкими и поэтому в квантовой химии для работы с такими базисными функциями применяется специальная техника, которая сравнительно легко алгоритмизируется. В конкретных расчетах, разумеется, удерживается лишь конечное число базисных функций. Рассмотрим пр1шеденный выше пример дублетной трехзлектронной функции и ограничимся и-функциями фр . Тогда общее число линейно независимых определителей равно [c.69]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология