Преобразование Фурье—Винера

Во второй главе изучается ряд разделов теории функций бесконечного числа переменных Так 1 содержит приспособленное к нашим целям изложение теории меры иа бесконечномерных пространствах — подобные меры появляются практически во всех разделах книги. Структура пространства квадратично суммируемых по гауссовой мере функций анализируется в 2. Здесь же вводятся многие важные объекты и конструкции, такие, как пространство Фока, его функциональная реализация, преобразование фурье — Винера. Необходимые сведения о дифференцируемых функциях на линейных пространствах собраны в 3. В этом же параграфе описывается одна общая конструкция пространств гладких функций бесконечномерного аргумента и изучается предложенный авторами подход к теории обобщенных функций бесконечного числа переменных. В 4 излагается ее координатный вариант, опирающийся иа технику бесконечных тензорных произведений, а в 5— инвариантный случай, не предполагающий выделения в пространстве аргументов фиксированной системы координат. Возникающие здесь пространства основных и обобщенных функций неоднократно используются в дальнейших рассмотрениях. [c.9]

Прежде чем приступить к обсуждению бесконечномерной ситуации, покажем, как возникает преобразование Фурье — Винера в одномерном случае. Для этого рассмотрим следующий пример. [c.128]

Унитарное преобразование функций из а (К1, у ), осуществляем ое оператором называется преобразованием Фурье—Винера. Его запись в форме (2.50) допускает естественное распространение на бесконечномерный случай, которое приводится ниже. [c.128]

Введем в рассмотрение, наряду с 75, меру 725 на Са (Ф ) с корреляционным оператором 25 — эта мера будет играть роль меры 7 из рассмотренного примера при определении преобразования Фурье — Винера в пространстве (Ф, 75). Определим подобно (2.51) для / су1 (Ф ) интегральное преобразование [c.129]

Унитарный оператор, продолжающий на все пространство 2 (Ф, 7s). по-прежнему будем обозначать и называть преобразованием Фурье — Винера, отвечающим мере 75. [c.130]

Хорошо известно, что преобразование Фурье функций / (х) х = = ( 1,. .., л ) К") может быть построено как разложение по совместным обобщенным собственным функциям действующих в пространстве по мере Лебега йх п коммутирующих самосопряженных операторов, порожденных производными 1д дх . Эта схема не распространяется непосредственно на случай п= оо ъ связи с отсутствием сейчас меры Лебега. Однако можно перейти к гауссовой мере в 1Я , изменив должным образом операторы 1д/дх/ (чтобы они стали эрмитовыми в соответствующем г)- Возникающее при этом разложение по совместным обобщенным собственным функциям соответствующего счетного семейства коммутирующих самосопряженных операторов будет совпадать с приведенным сейчас преобразованием Фурье — Винера. Эта точка зрения будет изложена в гл. 4, 1. [c.131]

Замечание 1. Представление (5.31) напоминает формулу (2.50), задающую преобразование Фурье — Винера. Существенное отличие, однако, состоит в том, что в (5.31) участвует мера Vi, а не [c.188]

Рассмотрим некоторые факты, дополняющие проекционную спектральную теорему, доказанную в 2 1) произведем диагонализацию оператора Р (X), приводящую к разложению исходного гильбертова пространства в прямой интеграл собственных подпространств 2) изучим возможности разложения в том случае, когда вложение Я+ с= не является квазиядерным 3) докажем, что для наличия достаточно хороших спектральных теорем для семейства А необходимо наличие квазиядерной цепочки, стандартно связанной с Л. В качестве иллюстрации рассмотрим два примера разложений (преобразование Фурье — Винера и изоморфизм Сигала). [c.260]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ — ВИНЕРА. [c.294]

Перейдем к рассмотрению конкретной ситуации п. 6., приводящей к тому, что преобразование (3.63) окажется бесконечномерным преобразованием Фурье — Винера (введенным в гл. 2, 2, п. 4). Установим прежде всего требуемые факты в случае одной переменной. [c.294]

Преобразование (3.78) называется бесконечномерным преобразованием Фурье — Винера (в координатной форме). Сравнивая (3.78) с конструкцией гл. 2, 2, п. 4, убеждаемся, что это другая форма введенного нами ранее преобразования. [c.298]

Учитывая (3.68) и (3.70), легко записать в нашем случае преобразование (3.4) и равенство Парсеваля (3.5). Соответствующее преобразование носит название одномерного преобразования Фурье — Винера и выглядит следующим образом [c.296]

Условия взаимной абсолютной непрерывности гауссовых мер обсуждаются в книгах Скорохода [1], Далецкого Ю. Л., Фомина [1]. Преобразование Фурье— Винера в случае винеровской меры введено в работе Камерона, Мартина [1], для канонической гауссовой меры иа 1Я°° или в гильбертовом пространстве оно изучалось соответственно Гусейновым [1, 2] и в книгах Далецкого Ю. Л., Фомина [1], Хида 1Ц. Наше изложение включает случай гауссовой меры с произвольным корреляционным оператором. [c.644]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология