Самосопряженный оператор

Очень важным свойством собственных значений самосопряженных операторов является то, что они всегда действительны. Собственные значения совпадают со средними значениями соответствующих физических величин в состояниях, описываемых собственными функциями этих операторов. Поскольку средние значения действительны ( 7), то действительны и собственные значения. В действительности собственных значений самосопряженных операторов можно убедиться и непосредственно из уравнения (8,5). Для этого умножим уравнение (8,5) на функцию ф , комплексно сопряженную к г ), и вычтем из полученного уравнения ему комплексно сопряженное. Интегрируя полученное выражение по всем значениям независимых переменных, находим [c.35]

Самосопряженный оператор удовлетворяет условию [c.27]

Задача 1.3. Проверить самосопряженность операторов — и 1—. [c.9]

А (х1-Ьхг) = Нл 1-1-Нх2, где /4—линейный самосопряженный оператор. [c.27]

Использование конечных элементов класса С позволяет, очевидно, обеспечить непрерывность интерполяций и пх первых производных при переходе через границы облаете Т как будет показано позже, что условие является одним из достаточных условий, обеспечивающих сходимость метода в задачах для самосопряженных операторов четвертого-порядка. [c.213]

Один из способов выхода за рамки приближения Хартри - Фока состоит в следующем. Пусть система уравнений Хартри — Фока (2.81) решена, найдены спин-орбитали фх, ф . Построим из них РМП-1 р(х д ) по формуле (2.73) и далее оператор/>1 и оператор Фока Р (2.80). Будем рассматривать Р и Р] как заданные линейные самосопряженные операторы. Собственные функции оператора Фока [c.91]

Постулат II. Каждой динамической переменной (координата, импульс, энергия и т. д.) ставится в соответствие линейный самосопряженный оператор. Все функциональные отношения между величинами классической механики в квантовой механике заменяются отношениями между операторами. [c.8]

Эрмитовы, или самосопряженные операторы, определяются условием [c.56]

Задача 1.4. Проверить, являются ли самосопряженными операторы [c.10]

Выражение (1.27) называется уравнением Шредингера для стационарного состояния. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных эллиптического типа. Функция Т( ) называется собственной функцией оператора Н, а Е собственным значением. Из теории уравнений типа (1.27) известно, что линейный самосопряженный оператор, каким и является [c.13]

Точные значения приобретают те механические величины, которые являются собственными значениями оператора, действующего на функцию, описывающую данное состояние системы. Значения, получаемые при измерениях, конечно, действительны, а потому речь может идти только о самосопряженных операторах типа Эрмита, собственные значения которых всегда выражаются действительными числами. Самосопряженным, в частности, является оператор энергии. Если же функция, описывающая состояние, не является собственной функцией оператора данной величины, то эта величина не имеет определенного значения. Вывод, который мы получили, очень важен —он составляет одно из фундаментальных отличий классической механики от квантовой. [c.38]

Важность самосопряженных операторов для квантовой механики определяется тем, что их собственные значения всегда действительны, а только такие значения и имеют физический смысл. Все квантово-механические операторы являются самосопряженными и линейными. Из условий аг1)=аг( = [c.56]

А = (Н АУ = НАУ = АН) = Н А = НА где мы воспользовались тем, что Я = Я. От операторов А кА можно перейти к двум самосопряженным операторам А = = А + Л )11 и Л25 = (Л - Л )/2г, которые также будут коммутировать с Я. В квантовой механике, как уже говорилось, физически наблюдаемым величинам должны отвечать именно самосопряженные операторы, собственные значения которых вещественны. [c.192]

Функциональное уравнение (7,5), определяющее условие самосопряженности оператора Р, можно записать в краткой операторной форме [c.28]

Если функция Р является функцией, содержащей произведения координат и импульсов, то, вообще говоря, не всякий оператор Р, полученный из Р по правилу (7,7), будет самосопряженным, так как не всякое произведение самосопряженных операторов будет самосопряженным. [c.29]

Действительно, используя самосопряженность оператора Р, можно написать [c.29]

А ф) т = (/Сф)/ 11) т. Учитывая далее самосопряженность оператора К, имеем J ( ф) г ) с1х— ф г1) йт, что и доказывает равенство (7,8). [c.29]

Если самосопряженные операторы коммутируют, то их про -изведение яляется самосопряженным, что непосредственно следует из (7,8а) [c.29]

Учитывая этот результат, мы можем утверждать, что с помощью правила (7,7) можно получать самосопряженные операторы только в том случае, когда целая рациональная функция Р не содержит произведений операторов координат и импульсов, либо содержит такие их произведения, которые коммутируют между собой, например хру и др. [c.30]

В табл. 1 приведен явный вид некоторых простейших линейных самосопряженных операторов, используемых в квантовой механике. [c.30]

Если самосопряженные операторы не коммутируют, то выполняется равенство [c.31]

Исключительная важность собственных значений линейных самосопряженных операторов, используемых в квантовой механике, состоит в том, что они определяют возможные значения соответствующих величин при их измерении. Если состояние системы описывается волновой функцией, совпадающей с одной из собственных функций тр оператора Р, то в этом состоянии физическая величина Р имеет определенное значение. Поэтому при ее измерении в этом состоянии мы должны получить с достоверностью значение Рп- Если же волновая функция г не совпадает ни с одной из собственных функций оператора Р, то в этом состоянии физическая величина Р не имеет определенного значения. При повторных измерениях физической величины р в одном и том же состоянии г мы будем получать различные значения Рп- Повторяя шюгократно эти измерения, мы сможем определить среднее значение Р) этой величины в данном состоянии. Это среднее значение должно совпадать со значением, полученным из соотношения [c.42]

Используя условие (7,4) самосопряженности оператора Р, находим Р = Р, что и указывает на действительность Р. [c.35]

Умножим уравнения (9,1) и (9,2) слева соответстве-нно на фт и г - Интегрируя затем правые и левые части новых уравнений по всей области изменения переменных и вычитая из одного полученного уравнения другое, находим, используя условие (7,5) самосопряженности оператора Р, [c.39]

В случае линейного самосопряженного оператора L с чисто дискретным спектром все пространство Ж можно представить в виде прямой суммь одномерных инвариантных относительно L пространств. Это означает, что можно ввести такой ортонормированный базис, в котором матрица оператора L будет диагональна. Элементами этого ортонорми-рованного базиса являются собственные вектора оператора Ь, а элементами диагональной матрицы собственные числа оператора L. [c.9]

Рассмотрим линейный самосопряженный оператор L. Обозначим его собственные вектора (ортонррмированные) через Фк, а Зго собственные числа - через Пусть P t - оператор проектирования на одномерное подпространство,образованное ортом Тогда [c.11]

Воспользуемся сформулированным утверждением сначала для того, чтобы показать, каким образом канонические уравнения Хартри - Фока могут быть получены из системы (С). Пусть задача (С) рещена, т . найдены орбитали и РМП-1 p(j i ). При заданной p(j [x ) оператор Фока F есть линейный самосопряженный оператор. Уравнение (2.96) можно за1шсать в виде [c.98]

Здесь А - произвольный линейный самосопряженный оператор. В зависимости от того, как он выбран, получим те или иные собственные функ-Щ1и фк (при любом выборе А орбитали ф принадлежат одному и тому же подпространству Ям)- В частности, будут ли ф ортогональны друг другу, определяется спектром оператора Р +рАр. Если выбрать А так, что спек тр оператора Е + рАр окажется невырожден, то разные орбитали ф)с будут обязательно ортогональны друг другу как собственные функщ1и одного линейного самосопряженного оператора, соответствующие разным собственным числам. Если же А таков, что спектр оператора Р +рАр окажется вырожденным, то разные собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному числу оператора Р + рАр, должны быть только линейно независимы, но не обязаны быть ортогональны. Этим обстоятельством воспользуемся при введении оператора псевдопотенциала (см. гл. 4, 8). [c.99]

Уравнения (2.100) представляют собой задачу на собственные функции линейного самосопряженного оператора в том случае, когда подпространство Км известно, т.е. уравнения (2.100) позволяют найти определенные линейные комбинации уже известных орбиталей. Однако эти уравнения могут быть использованы и для первоначального, исходного определения. орбиталей ф и, следовательно, подпространства Км-Для этого в системе (С) заменить (2.96) на (2.100) и репшть получившуюся систему уравнений. В оператор А также может быть введена нелинейность, но ее следует вводить так, чтобы оператор А определялся подпространством Км, а не конкретным видом орбиталей или ф , т.е. можно ввести зависимость от РМП-1 р(х х ), но не зависимость от отдельны орбиталей Pf . В противном случае получившиеся уравнения могут оказаться не равносильными исходным. [c.99]

Самосопряженные операторы обладают свойством, которое имеет большое значение для квантово-механических расчетов. Собственные функции таких операторов ортогональны, т.е. / фтфпй(л = 0 пригде фт и ф —две собственные функции. Это определение распространяется и на комплексные функции [см. уравнение (4.4)]. Докажем, что функции -ф1 и гра ортогональны, если обе они являются собственными функциями оператора Эрмита и их собственные значения неодинаковы. По условию [c.56]

Итак, мы доказали, что собственные функции, отнЬсящиеся к различным собственным зна> ениям самосопряженного оператора, ортогональны между собой. [c.39]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология