Цепочка квазиядерная

Теорема 2.3. Пусть цепочки (2.37) таковы, что вложения О i Яо.А, k = 2,. .., п, квазиядерны. Тогда каждой непрерывной п-линейной форме [c.44]

Теорема 2.5. Пусть в цепочке (2.55) вложение Я+ Но квазиядерно. Тогда по каждой непрерывной билинейной форме а (/, g) (/, g в Но) можно однозначно построить такое обобщенное ядро Qa 6 Но Н-, что [c.48]

Следствие 1. Пусть дополнительно оператор 8 ограничен в Яо- Тогда жра уз,а определена на 3 (Я ) для любой цепочки 1.41), в которой вложение Я+ Но квазиядерное, т. е. для ее высадки на негативное пространство годится любая квазиядерная цепочка. В самом деле, [c.95]

Как и в конечномерном случае, мера y. = 71,0 называется канонической гауссовой мерой (порожденной цепочкой (1.41)). Согласно установленному следствию она определена на 8 (Я ) для любой квазиядерной цепочки (1.41). [c.95]

Построения типа теоремы 1.6 сейчас, вообще говоря, неправомерны из-за возможного наличия у 5 непрерывного спектра. Однако в случае квазиядерной цепочки (1.41) и оператора 5, коммутирующего с 01, можно диагонализировать ситуацию путем разложения Я по собственным векторам оператора 01, а не 5. В следующих двух примерах поясним сказанное. [c.96]

Теорема 1.9. Пусть заданы квазиядерная цепочка (1.41) и в // порожденная ею каноническая гауссова мера у,. Утверждается, что эта жра совпадает с мерой уз в гильбертовом пространстве Я , построенной по положительному ядерному оператору S = О О (Н-, HJ). Обратно, каждая жра уз в построенная по [c.97]

Ситуация, описанная в этом примере, является обш.ей. В самом деле, пусть имеем цепочку (3.5) с квазиядерным вложением X. Оператор О] X X положи- [c.136]

Часто удобно рассматривать несколько более специальную ситуацию, когда вместо квазиядерной цепочки (0.2) задана ядерная [c.203]

О семействе операторов А, обладающих описанными свойствами, и оснащении (2.18) будем говорить, что они стандартно связаны (или А допускает (2.18)). Цепочка (2.18) называется продолжением (2.1). Как и ранее, (2.18) по определению квазиядерное, если таким будет вложение (сепарабельного) Я+ в Я(,. [c.237]

Рассмотрим некоторые факты, дополняющие проекционную спектральную теорему, доказанную в 2 1) произведем диагонализацию оператора Р (X), приводящую к разложению исходного гильбертова пространства в прямой интеграл собственных подпространств 2) изучим возможности разложения в том случае, когда вложение Я+ с= не является квазиядерным 3) докажем, что для наличия достаточно хороших спектральных теорем для семейства А необходимо наличие квазиядерной цепочки, стандартно связанной с Л. В качестве иллюстрации рассмотрим два примера разложений (преобразование Фурье — Винера и изоморфизм Сигала). [c.260]

Теорема 3.3. Пусть оператор А и стандартно связанная с ним цепочка (2.18) таковы, что существует определенная на его спектре з (Л) ограниченная непрерывная и отличная от нуля комплекснозначная функция а (Я) такая, что оператор а (Л) О Я+ Нд квазиядерный, [c.265]

Теорема 3.8. Пусть для множества т существует допустимая цепочка (3.31). Тогда можно построить квазиядерное оснащение (2.18), стандартно связанное с семейством операторов (3.30), при этом О — сепарабельный проективный предел гильбертовых пространств. [c.275]

Условия теоремы 1.1 носят характер достаточных при их выполнении имеет место формула типа (1.1). Получение необходимых и достаточных условий для справедливости подобных представлений — вопрос более тонкий, сейчас приходится от ядерных цепочек перейти к квазиядерным. Приведем один из результатов подобного рода — теорему Стоуна для представления гильбертова пространства как группы по сложению. Отметим, что вторая часть доказательства этой теоремы (как и теорем 1.3, 1.4, 1.6) тесно связана с построениями гл. 3, 3, п. 4. Точнее, ее можно вывести из теоремы 3.8 гл. 3. Однако ввиду важности результата мы приведем полное независимое доказательство (см. также вторую часть доказательства теоремы 1.3). [c.308]

III, IV доказательства существования оснащения в теореме 3.8 гл. 3). Квазиядерная цепочка Я г) Яо г) Я+ г) D, стандартно связана с А пусть (а/г) 1 финитна, тогда [c.309]

Зафиксируем некоторое позитивное пространство Я+ = Я , квазиядерно вложенное в Яд, и рассмотрим квазиядерную цепочку [c.362]

IV. Построим квазиядерную цепочку [c.423]

IV. Квазиядерная цепочка Я ,к гэ Як гэ Я+,к строится [c.442]

Из представления О = S0+ следует, что цепочка (5.8) будет квазиядерной, если вложение Я+ квазиядерно. [c.494]

Каждый элемент из Ок можно понимать не только как элемент проективного предела, но и как строящийся процедурой построения Я ,к по Я-(. Г) О. Если вложение Я с 0+ квазиядерное, то цепочка (5ЛЗ) будет квазиядерной. [c.497]

Лемма 5.3. Пусть задана цепочка (5.6). Каждому квазиядерному оператору С Я+.к Я ,к отвечает ядро 0 Я 0 Я такое, что [c.498]

Теорема 5.1. Пусть в цепочке (5.12) вложение Я+ с С квазиядерное, А = Ах)х х — введенное семейство операторов. Спустим каждый [c.499]

Пусть построена цепочка (или гильбертово оснащение пространства Яо) (1.11). У нас часто будет возникать ситуация, когда оператор вложения О Я+ Яо является оператором квазиядер-ным, т. е. Гильберта — Шмидта. В этом случае будем говорить, что пространство Я+ вложено в Яо квазиядерно, а соответствующее оснащение, или цепочку (1.11), называть квазиядерным. [c.19]

Отметим, что квазиядерность О эквивалентна квазиядерности 0J Н ->- Яр, так как J — изометрия между //о н Я (.. Этим замечанием удобно пользоваться при установлении квазиядерности цепочки оператор 0J действует в одном и том же пространстве Н . [c.20]

Цепочка (С) 3 2 (О) ГЭ (О) примера 1.2 в случае ограниченной О С К будет квазиядерной при 1> 112. Ътоязказыъагтся следующим образом. Так как 6 6 WJ (О) X 6 С), то [c.20]

Пример 1.4. Построим каноническую гауссову меру (с исходным Н ) как продакт-меру. Для этого возьмем произвольную квазиядерную цепочку (1.41) Тг (01) — = Тг ((0/)2) = I О] р, II О/ К 1. Пусть (ед ) , — ортонормированный базис в Яо, составленный из собственных векторов оператора 01, 01еи = (Рк 1> 6 [c.96]

Теорема 1.10. Пусть преобразование Фурье 7 (у) (г/6 непре-рьшно в топологии Но- Тогда для всякой квазиядерной цепочки (1.41) цилиндрическая мера у продолжается до меры на В (Я ) (или, иными словами, исходная цилиндрическая жра 7 продолжается до меры на 35 (Я )). [c.98]

Доказательство. Как пояснялось в гл. 1, 1, п. 2, каждое Ят (т Т) вложено топологически в Н , причем О Т. Выберем тнК ч- т, чтобы вложеи е Ят с Я было квазиядерным, это возможно благодаря ядерности Ф. В результате получим цепочку [c.237]

Теорема 2.6. Пусть X не более чем счетно, пространство О в квазиядерной цепочке (2.18) предполагается сепарабельным. Суи ествует множество 2 ((С"") Э л <= я (Л) (] (А) полной спектральной меры р такое, что для каждого Я ( ) л область значений Л (Р (% ( )) состоит из обобщенных совместных собственных векторов семейства А, отвс-чаюащх собственному значению Я ( ), и Тх (Р (X ( )) = 1- [c.240]

Предположим, что имеется квазиядерная цепочка (2.1). Пусть (е/)у11 — некоторый ортонормированный базис в Я+. Благодаря квазиядерности О оператор 00 Я+-> 2 (М, йо (ш)) квазиядерный, поэтому, пользуясь теоремой Фубини, находим [c.285]

Достаточно установить квазиядерность вложения сг Н, при соответствующем выборе р. Примем Яц, Я+ в качестве нулевого и позитивного пространств и построим цепочку Я =э Яо Н . Подсчитаем соответствующий этой цепочке оператор / Яо Я+. Для этого обозначим через О а пополнение Ф относительно скалярного произведения в 2- Так как переводит С (Q, Е) в себя, то оператор Ф Э Ф (- - р Ф сохраняет Ф и поэтому может рассматриваться [c.346]

XIII. Мы доказали существование квазиядерной цепочки (2.44) с описанными в X и XII свойствами, стандартно связанной с семейством Л = (Лр)ред ограниченных нормальных операторов. Перейдем к доказательству представления (2.38). [c.355]

Благодаря симметрии второго интеграла в (4.29) относительно ф , ф и симметрии (С р) (0) равенство (4.29) достаточно установить на диагонали ф1 =. ..= фб = ф, а в этом случае оно уже доказано. Я Напомним в несколько модифицированном виде необходимые сведения из теории симметрической степенной проблемы моментов в случае гильбертовых пространств (см. 2, п. 2). Рассмотрим некоторую цепочку (4.23) вещественных гильбертовых пространств вложение Я 2 -> Я+1 предполагается квазиядерным, квазиядерность вложения Я+1 -> Яо не требуется. Последовательность 8 (8п)п=о, где 6 Я и называется моментной, если симметрично и выполняется условие п. о. для любой финитной последовательности (ф )/1о (ф/ 6 Я+ ) [c.480]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология