Пространство Фока

Действительно, как было показано акад. В. А. Фоком в 1935 г., полная группа симметрии атома Н, объясняющая оба типа вырождения (по пг и по /), есть группа вращении четырехмерного шара 0(4). Для того чтобы связать теорию атома водорода с симметрией четырехмерного щара, Фок записал уравнение Шредингера не в обычном виде, а в особых, введенных им координатах, зависящих от компонент импульса электрона, причем число таких координат (размерность пространства Фока) равно четырем. [c.82]

Пространство состояний (2.132) со скалярным произведением (2.133) названо пространством Фока. [c.112]

Читатель может заметить аналогию с большим каноническим ансамблем в статистической механике и пространством Фока в теории поля. [c.38]

Во второй главе изучается ряд разделов теории функций бесконечного числа переменных Так 1 содержит приспособленное к нашим целям изложение теории меры иа бесконечномерных пространствах — подобные меры появляются практически во всех разделах книги. Структура пространства квадратично суммируемых по гауссовой мере функций анализируется в 2. Здесь же вводятся многие важные объекты и конструкции, такие, как пространство Фока, его функциональная реализация, преобразование фурье — Винера. Необходимые сведения о дифференцируемых функциях на линейных пространствах собраны в 3. В этом же параграфе описывается одна общая конструкция пространств гладких функций бесконечномерного аргумента и изучается предложенный авторами подход к теории обобщенных функций бесконечного числа переменных. В 4 излагается ее координатный вариант, опирающийся иа технику бесконечных тензорных произведений, а в 5— инвариантный случай, не предполагающий выделения в пространстве аргументов фиксированной системы координат. Возникающие здесь пространства основных и обобщенных функций неоднократно используются в дальнейших рассмотрениях. [c.9]

В этой главе важную роль играют три объекта пространство Фока, изоморфизм Сигала и разложение Винера — Ито. Они связаны с пространством функций на сопряженном к ядерному пространстве, суммируемых с квадратом относительно гауссовой меры у. Полезно пояснить, что если от такого изощренного пространства 2 перейти к пространству (1Я , /7 (дг)) функций на оси 1К , то эти объекты приобретают весьма простой характер роль пространства Фока играет обычное пространство последовательностей вида (/ )п=о. изоморфизм Сигала — восстановление функции / Е г (1Н , йу (х)) по последовательности (/ ) =о ее коэффициентов Фурье при разложении 2 (1К . ( )) по полиномам Эрмита, а разложение Винера — Ито — само это разложение. [c.70]

ПРОСТРАНСТВО ФОКА И РАЗЛОЖЕНИЕ ВИНЕРА-ИТО [c.114]

Ниже получим обобщение разложения (2.19) на бесконечномерный случай, которое позволит ввести аналог изоморфизма (2.20), при этом роль пространства (С ) будет играть так называемое пространство Фока. Перейдем к его описанию. [c.115]

Введем ряд нужных объектов в пространстве Фока. Будем обозначать пп (Я) подмножество финитных векторов (Я), т. е. векторов вида /= (/о, О, О,, ..). Очевидно, ,ш(Н) плотно в (Я). [c.115]

Построим специальный базис в пространстве Фока, часто называемый базисом чисел заполнения. При этом построении будем исходить из ортонормированного базиса e )JLl в Я. Пусть 2+.о Z+ = = 2+ X 2+ — множество финитных мультииндексов а = = (а .....av, О, О,. ..) с целочисленными неотрицательными координатами V = V (а) — длина мультииндекса а, т. е. минимальное 6 N такое, что =. .. = 0. Для каждого а такого, [c.116]

Зафиксируем 8 Е о (Ф. Ф ) и построим, с одной стороны, пространство Нз и по нему пространство Фока (Нз), а с другой — пространство 2 (Ф, 75). Как и в простейшем случае примера 2.1, эти пространства унитарно изоморфны и изоморфизм осуществляется при помощи оператора 1з, который сейчас будет построен. Введем отображение 1з (Нз), Уа), заданное на тотальном в (Нз) множестве векторов вида Рп(к-1 . .. Л ) (/г Нз) равенством [c.119]

Изоморфизм пространства Фока [Н ) и (Ф, ys), осуществляемый унитарным оператором Js, будем называть изоморфизмом Сигала. При этом каждому фоковскому вектору / = (/о, Д,. ..) g З (Hs) ставится в соответствие функция [c.121]

Может показаться искусственным само введение изоморфизма Сигала посредством формулы (2.27). В действительности этот изоморфизм является преобразованием Фурье по обобщенным совместным собственным векторам некоторого естественным образом построенного в пространстве Фока семейства коммутирующих самосопряженных операторов. Это будет показано в гл. 3, 3, п. 8. [c.121]

Отображение 1з 3 (Нз)Ь Ф, уз) осуществляет функциональную (в виде функций из Ь ) реализацию пространства Фока. Однако можно било бы исходить и из заданного вещественного гильбертова пространства Н и построенного по нему пространства Фока (Н). Для получения его функциональной реализации нужно построить какую-либо ядерную цепочку Ф =) Я=) Ф (например, перейдя к координатам и положив 1Я°° =) 2 (Е ) => Е ), принять 5 = 1 и применить предыдущую схему. [c.123]

Наша конструкция будет основана на построении оснащений пространства Фока (Нд) и последующем применении изоморфизма Сигала, отображающего (Яц) в 2 (Ф, 71). Как будет показано, возникающие таким образом пространства основных функций являются естественным обобщением пространств (1К°°) и содержат их как специальный частный случай. [c.172]

ОСНАЩЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА ФОКА [c.173]

По ядерному оснащению (5.1) пространства Яц можно построить оснащения соответствующего пространства Фока (Но). [c.173]

Такие семейства гильбертовых норм называются строго эквивалентными. Из определения пространства Фока вытекает, что (5.5) влечет выполнение неравенств [c.175]

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЕАЛИЗАЦИИ ОСНАЩЕНИЙ ПРОСТРАНСТВА ФОКА [c.178]

СВЯЗЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЕАЛИЗАЦИЙ ПРОСТРАНСТВА ФОКА [c.185]

ВНУТРЕННЕЕ ОПИСАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЕАЛИЗАЦИЙ ОСНАЩЕНИЙ ПРОСТРАНСТВА ФОКА [c.188]

В которой все пространства состоят из целых функций. Целость обобщенных функций является специфической особенностью голоморфной реализации пространства Фока и его оснащения (5.35). Сингулярность обобщенных функций проявляется здесь, во-первых, в том, на каком из гильбертовых пространств семейства (Я/,с) 1 они целые, и она тем больше, чем больше /, т. е. чем уже Я,-,с. Во-вторых, чем выше тип данной целой функции второго порядка на Я/,с, тем более далекое пространство 5" (Я /) содержит соответствующий ей вектор из 3 (Ф), т. е. тем более она сингулярна как обобщенная функция в смысле оснащения (5.46). [c.193]

Покажем, что изоморфизм Сигала, введенный в гл. 2, 2, п. 2, допускает естественную интерпретацию как преобразование Фурье при разложении по обобщенным совместным собственным векторам некоторого семейства коммутирующих самосопряженных операторов. Эти операторы строятся при помощи так называемых операторов рождения и уничтожения — весьма важного семейства операторов в пространстве Фока, через которые, в частности, выражаются гамильтонианы физических систем. [c.298]

К этим соотношениям нужно добавить, что а+ (e ) Q = е,- и а (e ) Q = = О (/ N). где U = (1, О, О,. ..) (Я) — вакуумный вектор в пространстве Фока. Таким образом, [c.301]

В этом параграфе изучим свойства одного класса эллиптических дифференциальных операторов второго порядка, действующих в пространстве функций бесконечного числа переменных. Такие операторы возникают при функциональной реализации пространства Фока и включают ряд важных для приложений частных случаев, среди которых гамильтониан свободного бозонного поля. [c.509]

Действительному сепарабельному гильбертову пространству Я поставим в соответствие, как в п. 2 2 гл. 2, пространство Фока (Яо) [c.510]

Зафиксируем самосопряженный в оператор Л > О и зададимся целью изучить образ оператора dV (Л) при функциональной реализации пространства Фока. Для осуществления такой реализации, как описано в п. 3 2 гл. 1, нужно ввести оснащение пространства Нц-Как увидим ниже, выбор оснащения сейчас не является столь произвольным, как ранее по отношению к оператору А оно должно обладать рядом специальных свойств. Наличие этих свойств обеспечит (в функциональной реализации) возможность детального изучения операторов вторичного квантования. [c.511]

Выбор в Яд ортонормированного базиса задает изоморфизм Нд и 1 (К ). Рассмотрим ядерное оснащение 1 (К ) и соответствующее оснащение пространства Фока (1.4) [c.520]

Оператору энергии Г (Л ,) в пространстве Фока ( отвечает самосопряженный оператор в 2 ( >Ке (1 ), т ), заданный на функциях /6 Сб,су1 ( ке (К )) формулой (см. пример 1.4 гл. 6) [c.602]

Пример 2.5 (пространство состояний свободного поля в шредингеровском представлении). Пространство состояний свободного бозонного поля массы О в пространстве — времени размерности й + 1 определяется в теории поля как пространство Фока 5 Здесь строится следующим образом. Рассматривается в качестве [c.123]

Нам понадобится еще одна функциональная реализация пространства Фока, связанная с бесконечномерным аналогом пространства Баргмана. Рассмотрим сперва случай одномерного пространства. [c.182]

В связи с этрй обстоятельством пространство Р (Яо,с) будем называть гомоморфной реализацией пространства Фока (Яд). [c.184]

В 1 вводится важный класс таких операторов — операторы вторичного квантования в шредингеровском представлении. Операторы вторичного квантования первоначально определяются в пространстве Фока (Яо) гл. 2 по самосопряженному оператору Л > О, действующему в Нд. при каждом /г N построим в 5 (Я ) с Я " оператор Л " подобно тому, как строится оператор Лапласа —А в (1К", йх .... ..йХп) по оператору — йх в ( к йх). Дополним набор полученных операторов, положив = О в ( о) = и введем оператор [c.507]

Пример 1.3 (оператор числа частиц в шредингеровском представлении). Оператор числа частяц N = йТ (1) нз примера 1.1 выделяется тем, что он коммутирует с каждым оператором Г (А) н для его рассмотрения подходит любое ядерное оснащение Нд. Образ оператора числа частиц при изоморфизме Сигала будем по-прежнему обозначать N = 1. Найдем его вид в случае функциональной реализации пространства Фока. [c.520]

Замечание 3. Переход от (Е , 75) и гамильтониана к пространству Фока Нз) и оператору вторичного квантования Г (5 ) в нем называется переходом к квазичастичному описанию гармонической системы. Пространство Нз интерпретируется как гильбертово пространство состояний одной квазичастицы, а оператор 5 = К = в Нз служит ее оператором энергии. Описанная интерпретация особенно популярна в физической литературе, где возникающие таким образом квазичастицы получили наименование фононов, [c.623]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология