Устойчивость асимптотическая

Рис. 26. Близкие решения стремятся к устойчивому (асимптотически) решению

Чтобы найти границы области асимптотической устойчивости положения равновесия, соответствующие найденной функции Ляпунова, определим условия смены знака V. Для этого приравняем (V, 11) нулю и найдем пересечение кривой У = О с осью I, т. е. с прямой т] = О [c.166]

В приложении к линейным стационарным системам условие устойчивости сводится к тому, что все корни Xi, Xj, 7 характеристического уравнения, полученного по дифференциальному уравнению этой системы, имели отрицательные вещественные части или, что одно и то же, располагались на комплексной плоскости слева от мнимой оси. При выполнении условия устойчивости линейная система будет устойчива асимптотически, что непосредственно следует из решения ее дифференциального уравнения. Это решение у (t), определяющее значение регулируемой величины в зависимости от времени, является суммой частного решения у, (t) неоднородного дифференциального уравнения и общего решения у , (t) однородного Дифференциального уравнения [c.108]

Следовательно, решение уравнения (185) устойчиво асимптотически. [c.108]

Теорема 8. Пусть F (X, i) определена и непрерывна в Й и F X, t) f (X) при t- + оо равномерно по Х < R. Пусть / (0) = О и нулевое решение автономной системы dz dt = f (z) устойчиво (асимптотически устойчиво) в смысле Ляпунова. Пусть [c.180]

Условимся считать стационарное состояние Х п устойчивым только в том случае, если существующее в момент = 0 отклонение уменьшается или по крайней мере не увеличивается с течением времени. Таким образом, критерием устойчивости (асимптотической устойчивости в смысле Ляпунова) является следующее условие, которому должна удовлетворять абсолютная величина отклонения [c.61]

Тогда решение а = О устойчиво (асимптотически), т. е. рп р при если корни уравнения — (l + Ь) — [c.167]

Если система после любых возмущений асимптотически приближается к положению равновесия, то говорят, что она обладает асимптотической устойчивостью в целом (или полной устойчивостью). [c.157]

Системами, асимптотически устойчивыми в целом, являются все линейные системы, обладающие одним устойчивым положением равновесия например, линейные системы второго и третьего порядков, положения равновесия которых являются устойчивыми узлами или фокусами (см. рис. 1-1, 1-2, 1-6, 1-7). [c.157]

Некоторые нелинейные системы не обладают асимптотической устойчивостью в малом, но в окрестности положения равновесия имеется некоторая область (может быть и достаточно большая), внутри которой система обладает асимптотической устойчивостью. В таком случае говорят об устойчивости си-сте.мы в большом. [c.157]

ЕТ ли система не только остается вблизи положения равновесия, но с ростом времени неограниченно приближается к нему, т. е. л (т)—>л прп т —> оо, то она обладает асимптотической устойчивостью. [c.161]

Следует заметить, что область гарантированной асимптотической устойчивости зависит от выбора матрицы С. [c.166]

В некоторых случаях функцию Ляпунова удается найти, не прибегая к линеаризованным уравнениям. Если при этом окажется, что функция Ляпунова удовлетворяет требованиям асимптотической устойчивости во всей имеющей смысл области фазового пространства, то это будет означать, что система устойчива в целом. [c.166]

Для положительных значений а и р, удовлетворяющих этому неравенству, квадратичная форма (У,23) является функцией Ляпунова, а исследуемое невозмущенное движение для соответствующей области пространства параметров является асимптотически устойчивым. [c.173]

V Е существует и е О. Единственность ТДР означает в этом случае, что для и(и) = г 1( ),. . Илг (у) выполняется = 0, 7 = 1,..., Н, что эквивалентно (3.64). А это в свою очередь означает, что первые rg компонентов вектора и и) = и1(1 ),. . ., М]у/( ) есть асимптотически устойчивые положения равновесия быстрой подсистемы [c.157]

Правые части (3.79) являются гладкими, (т. е. сколь угодно раз дифференцируемыми) в окрестности начального вектора у , откуда следует, что решение у(у , I) начальной задачи Коши существует и непрерывно зависит от координат начальной точки. Это означает, что начальная задача Коши поставлена корректно. Известно также, что решение системы кинетических уравнений (3.79) является устойчивым и асимптотически устойчивым по Ляпунову [7, 36]. [c.170]

Вычислительная процедура, соответствующая (3.95), является асимптотически устойчивой для отрицательно определенной матрицы А. Действительно, 60 + 1 = = бс, (Е + Ас,) + (Е + Ас ) бс = бс ехр (Ат ) + + ехр(Ат ) X бсп и при т оо ехр (Ат) -> О и 60, + - 0. [c.180]

Заметим, что попытка сократить число арифметических операций, рекомендуемая, например, в [65], некорректна, поскольку приводит к двум рекуррентным соотношениям — одному для вычисления матричной экспоненты ехр(2Ат) = ехр(Ат) ехр (Ат) и второму — для получения решения системы g + l = g + exp(Aт )g (здесь g = = с / (Со)). Выигрыш в числе арифметических операций очевиден, однако данная процедура не является асимптотически устойчивой для устойчивых матриц. [c.180]

Недостаток этого приема состоит в том, что возникает ограничение на шаг, связанное с тем, что если компонент =z А) сильно меняется за время к = я+1 п, то это, не вызывая дисбаланса на шаге, может привести к дисбалансу на интервале. Иначе говоря, рассмотренная схема балансна локально, но не балансна асимптотически. Полностью балансной схемой, устойчивой локально и асимптотически, является чисто неявный нелинейный [c.189]

Можно ослабить условие (V.20) и потребовать, чтобы различие уу и У1 стремилось к нулю лишь при а оо (стационарный режим). Такое условие принято называть асимптотически устойчивым, и для него [c.163]

Если применить условие (V.21) к инженерным задачам, то в качестве х можно рассматривать время осуществления процесса. Тогда условие х->оо означает переход процесса к установившемуся (стационарному) состоянию, и асимптотическая устойчивость есть устойчивость стационарного состояния. В теории регулирования такую устойчивость называют локальной, или устойчивостью в малом. [c.163]

Для исследования устойчивости решения можно, например, вычислить величины у,- при различных начальных условиях и сопоставить их при одинаковых наборах х, у ,. .., Ур. Если, например, yj близки при х оо, получим асимптотически устойчивые решения. [c.163]

На рис. V-4 приведен пример асимптотически устойчивого решения функции одной переменной у = f у)- Достаточно ясно, что если / (0) = О и / у) меняет знак с + на —, когда х, увеличиваясь, проходит через О, решение будет асимптотически устойчивым. Этот вывод указывает на возможность анализа устойчивости [c.163]

При качественном исследовании асимптотической устойчивости обычно осуществляют перенос начала координат, что позволяет от произвольной системы дифференциальных уравнений перейти к системе (У-19) прп невозмущенном решении у,- (0) = О- Кроме [c.164]

Из теоремы Ляпунова не вытекает способ построения функций V. Рассмотрим его, а также проведем исследование асимптотической устойчивости для наиболее простого случая, когда система (V.19) является линейной [c.165]

Доказывается [13] и более простое условие асимптотической устойчивости при постоянной А- Для этого необходимо и достаточно, чтобы все корни X характеристического уравнения [c.166]

Кривые М (9п), соответствующие разным могут иметь в области 0п 1 минимумы (точки 7 и 5) и максимумы (точки 2) и выходят во внутридиффузионной области на единую асимптотическую кривую, определяемую формулой (III.127). Наличие на кривой М (0п) экстремумов означает существование в рассматриваемой задаче множественных режимов, причем значения 0п, при которых йМ 4% = — О (точки 1—3 на рис. III.11 и III.12), разделяют чередующиеся области устойчивых и неустойчивых режимов. Заметим, что точки 4 и 5 (соответствующие значениям о, при которых в задаче с заданными значениями поверхностных концентраций Со и температуры То происходил перескок между режимами) попадают в область неустойчивых режимов, разделяющих внутрикинетическую и внутридиффузионную области. Таким образом, наличие сопротивления теплоотводу на внешней поверхности катализатора приводит к расширению области неустойчивых режимов. Это проявляется также в возникновении неустойчивой области при 0 <С 4,5, когда задача без внешнего сопротивления вообще не имеет неустойчивых режимов. Скачкообразные переходы во внутренних режимах могут наблюдаться, как это видно из рис. III.12, до 0 = 2. [c.137]

Синтез оптимального регулятора проведем на основе прямого метода Ляпунова. Из связи, существующей между прямым методом Ляпунова и методом динамического программирования следует, что если для замкнутой системы установлен факт асимптотической устойчивости с помощью некоторой функции Ляпунова V (х), то аналитически сконструированный регулятор по этой функции будет в известном смысле оптимальным [56, 57]. Будем искать функцию V (х), которая сообщала бы системе [c.429]

Из последнего выражения следует, что для достижения асимптотической устойчивости в большом достаточно выбрать управляющее воздействие в виде [c.430]

Численные исследования нелинейной системы уравнений моментов показали [2], что из устойчивости в малом следует асимптотическая устойчивость в целом а в случае неустойчивости в малом в системе устанавливается колебательный процесс одной определенной конечной амплитуды. На рис. 4.2 показаны рассчитанные на ЭВМ [2] при различных значениях m переходные процессы изменения концентрации в кристаллизаторе в устойчивой (кривые /, 2) и неустойчивой (3—5) зонах. Из формы кривых 4, 5 видно, что в случае неустойчивости состояния стационарности вне зависимости от начальных условий в системе самопроизвольно устанавливались нелинейные колебания определенного периода и амплитуды. Изменение характеристик процесса в автоколебательном режиме изображено на рис. 4.3. [c.334]

Анализ термодинамических критериев эволюции и стабильности подтверждает напратвлепный характер и устойчивость конечного состояния про-цесса селекции в модели Эйгена. Анализ термодинамических свойств автока-талитических уравнений, описывающих динамику превращений в гиперциклах Эйгена, провести труднее в силу нелинейного характера кинетики. Оказывается, что для двух- и трехчленных циклов стационарное состояние асимптотически устойчиво, в то время как стационарная точка четырехчленного цикла представляет собой центр , т. е. находится на грани устойчивости. Пятичленный цикл дает неустойчивое стационарное состояние с возможностью выхода из него на траекторию предельного цикла [85]. [c.312]

Тогда G (О, 0) = О и G (у, т) непрерывна по совокунности аргументов при i/ < R, т <1. Утверждается, что начало координат X = О является расчетно-устойчивым (асимптотически расчетно-устойчивым) движением для системы dXIdt = F (X, t) тогда и только тогда, когда решение у = О, т = О автономной системы [c.180]

Пусть ( )цШ = О, В этом случае в популяции существуют состояния равновесия [р 1 = , п, устойчивость (асимптотическая) которых определяется видом матрицы WijW (см. 4.7). Предположим, что некоторое равновесие рг г = 1,га) асимптотически устойчиво прп ( >ц 1) = 0. Тогда, в силу теоремы об устойчивости прп постоянно действую-щпх возмущениях ), это равновесие будет устойчиво и при Diз(i) О, но для этого й , а следовательно, и [c.239]

Вторая теорема. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию V(хи Х2,..., х ), полная производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть знакоопределенная функция со знаком, противоположным знаку V, то невоз-му ценное движение асимптотически устойчиво. [c.161]

Эта производная является знакоотрицательной в области фазовой плоскости, соответствующей >—1 и т] >—1. Следовательно, квадратичная форма (V, 15) является функцией Ляпунова для системы (V, 14), которая обладает асимптотической устойчивостью в указанной выше области. Но, так как мы условились, что 5 = г/ ,- = 1, а концентрации не могут быть отрицательными, то значение и т], меньшие, чем —1, не имеют физического смысла. Значит, асимптотическая устойчивость имеет место во всей имеющей смысл части фазовой плоскости. Таким образом, мы приходим к выводу о том, что система (V, 14), а следовательно, и исходная система (V,12) (при коэффициентах, соответствующих 5 = /5=1), обладают устойчивостью в целом. [c.167]

Химические приложения топологии и теории графов (1987) -- [ c.381 ]

Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем (1987) -- [ c.107 ]

Устойчивость химических реакторов (1976) -- [ c.56 , c.83 , c.93 , c.182 , c.204 , c.225 ]

Теория управления и биосистемы Анализ сохранительных свойств (1978) -- [ c.85 ]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология