Численное интегрирование дифференциальных уравнений

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.145]

Для получения более точных результатов в примерах 6, 9, а также в случае большого числа экспериментальных данных расчеты следует производить на ЭВМ с использованием стандартной программы для численного интегрирования дифференциальных уравнений кинетики и программы оптимизации для поиска констант скоростей. [c.84]

Первый из них (наиболее очевидный, но требующий больших затрат времени) — метод численного интегрирования дифференциальных уравнений. Это удобно, если требуется проверить конкретное начальное условие или результат, полученный другим методом. Как указывалось выше, метод коллокации применим к модели трубчатого реактора с продольным перемешиванием и рециклом и трубчатого реактора с поперечным перемешиванием и рециклом. Но может быть использован и другой вычислительный аппарат. [c.239]

Задача расчета переходного процесса состоит в решении дифференциальных уравнений, описывающих состояние системы. При использовании цифровых вычислительных машин с этой целью применяют методы численного интегрирования дифференциальных уравнений. Достаточно широкое распространение при расчетах переходных процессов на ЭВМ получили методы Рунге— Кутта, Хэмминга и Адамса. Рассмотрим сущность этих методов на примере решения дифференциального уравнения первого порядка [c.154]

Метод МКЭ представляет собой разновидность способов приближенного численного интегрирования дифференциальных уравнений движения сплошной среды, позволяющих определить вид непрерывных функций, описывающих поле некоторых скалярных или векторных величин (давлений, скоростей). При использовании этого метода непрерывная область или тело подразделяется на конечное число подобластей (рис. 16.5). Каждый элемент может иметь свой собственный размер и свою форму, которые выбирают так, чтобы они наилучшим образом соответствовали форме и размерам тела Этот метод МКЭ отличается от метода конечных разностей, при ко тором используется сетка с ячейками одинакового размера, описы ваемыми теми же координатами, что и тело. Точки пересечения кри вых, ограничивающих соседние элементы, называются узлами Значения переменных, вычисленные в узлах, дают искомое решение Обычно конечные элементы в двухмерных задачах имеют треуголь ную, прямоугольную или четырехугольную форму (см. рис. 16.5) при решении трехмерных задач используют элементы, имеющие форму прямоугольных призм и тетраэдров. Внутри каждого элемента подбирается интерполяционная функция, описывающая изменение определяемого параметра. Выбранные аппроксимирующие функции называются пробными функциями или пространственными изменяемыми моделями. [c.596]

Для ламинарного пограничного слоя как несжимаемой жидкости, так и сжимаемого газа при переменном давлении во внешнем потоке существуют различные методы расчета. Наиболее точные методы основываются на численном интегрировании дифференциальных уравнений и требуют применения вычислительных машин. Для турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости разработаны приближенные, полуэмпирические методы расчета. В случае небольшого градиента давления во внешнем потоке расчет турбулентного пограничного слоя сжимаемой жидкости может быть произведен при условии, что влияние градиента давления учитывается лишь в интегральном соотношении количества движения (59). При этом считается, что профили скорости и температуры, а также зависимость напряжения трения от характерной толщины пограничного слоя имеют такой же вид, как и в случае обтекания плоской пластины. [c.338]

W --Ttr 7С/-. При очень точных измерениях учитывают отклонение формы, мениска от сферической (особенно, когда применяются широкие капилляры). С этой целью используют результаты численного интегрирования дифференциального уравнения Лапласа (см. с. 32), которые приводятся в таблицах. Метод капиллярного поднятия может давать точность определения поверхностного натяжения до десятых и сотых долей мН/м. [c.37]

Именно это обстоятельство, т. е. необходимость выполнения граничных условий, заданных в различных точках экстремали, зачастую и осложняет получение численного решения. Для того чтобы понять, какие при этом возникают трудности, рассмотрим простейший метод численного интегрирования дифференциальных уравнений, используемый для выполнения расчетов на вычислительных машинах. [c.227]

Качественный анализ неравновесных течений при наличии энергообмена, трения и изменения геометрии канала затруднителен. По этой причине исследование течений такого типа более удобно выполнить на основе численного интегрирования дифференциальных уравнений потока. [c.141]

Верхняя и нижняя оценки, определяемые неравенствами (81) и (82), обычно весьма близки [ ], а интегралы в формулах (81) и (82) не слишком сложны для расчета, поэтому эти оценки могут быть использованы для получения весьма точных приближений для массовой скорости горения т и это требует меньшей затраты труда, чем применение итерационных методов или численное интегрирование дифференциального уравнения. [c.174]

Поскольку полная внутренняя энергия подсчитывается пу-тем численного интегрирования дифференциального уравнения [c.30]

Расчет высоты хемосорбционных колонн в настоящее время проводится по уравнению массопередачи, не -посредственное интегрирование которого для процессов хемосорбции является невозможным. Поэтому при расчете хемосорбционных колонн используются такие трудоемкие методы расчета как метод расчета "от тарелки к тарелке" или метод численного интегрирования дифференциальных уравнений. [c.164]

В настоящее время микрокомпьютеры не обладают достаточной мощностью для быстрого выполнения сложных теоретических расчетов, но их можно использовать для решения более простых задач по расчету молекулярных орбиталей, аналогичных расчетам по простому [10] или расширенному методу Хюккеля [11]. Они особенно удобны для статистического обсчета данных анализов, в котором вычисления просты, но слишком монотонны для выполнения вручную. Микрокомпьютеры также могут быть очень полезны для получения численных решений полиномиальных уравнений, систем линейных уравнений, для точного расчета pH [12] или численного интегрирования дифференциальных уравнений в химической кинетике [13]. [c.90]

Сложность расчета, связанного с численным интегрированием дифференциальных уравнений изменения давления и уравнения движения поршня не позволяет определить сразу необходимую регулировку предохранительного и регулировочного клапанов, а также давления в воздухосборнике для получения различного времени цикла зависящего от размеров прокатываемых труб. [c.324]

Проверку термодинамической согласованности данных для тройных систем, как и для бинарных систем, можно производить на основании аналитических зависимостей, являющихся частными решениями дифференциальных уравнений, или путем интегрирования этих уравнений численными методами. Численное интегрирование дифференциальных уравнений для тройной системы потребовало бы громоздких расчетов и большого количества экспериментальных данных, в особенности когда исследования проводятся в широком интервале температур. Поэтому предпочтительным является первый путь. Для тройной системы кислород — аргон — азот составление уравнений облегчается тем, что в результате изучения трех бинарных систем установлен их симметричный характер. [c.51]

Поинтервальный расчет представляет собой разновидность численного интегрирования дифференциальных уравнений теплопередачи. Поэтому для определения температур теплоносителей при поинтервальном расчете, кроме приведенных выше уравнений, могут быть использованы дифференциальные уравнения, решаемые в конечных разностях. [c.43]

На той же машине Минск-32 методом нелинейных оценок с численным интегрированием дифференциальных уравнений и нахождением [Св — в 1, 2. 3, Й4)р были подобраны такие константы k, обеспечивающие минимум остаточной суммы квадратов e, = 0,0108 0,002 л/(моль мия) = 0,182 0,035 л/(моль мин) [c.300]

ПО поверхности температурного напора используют приемы численного интегрирования дифференциальных уравнений теплопередачи и графического интегрирования полученных температурных распределений. [c.287]

С другой стороны, наличие в настоящее время быстродействующих электронных вычислительных машин позволяет производить обширные расчеты, связанные с численным интегрированием дифференциальных уравнений. [c.263]

Толчком к развитию полуэмпирических теорий второго этапа явилось создание надежных термоанемометрических устройств и накопление к тому времени экспериментального материала по пульсационным характеристикам пограничного слоя. Этому способствовали также достижения в области вычислительной техники и разработка новых методов численного интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных. [c.78]

После исключения переменных Сд, 0д, /, из (6.67)-(6,72) получим удобные для численного интегрирования дифференциальные уравнения для диффузионных слоев [c.297]

Чтобы рассчитать высоту неизотермической контактной колонны, мы должны в обш ем случае прибегнуть к численному интегрированию дифференциальных уравнений, применимых к произвольному сечению колонны. Скорость массопередачи между [c.570]

Поиск констант для каждого из механизмов производился с таким расчетом, чтобы достигала минимума сумма квадратов отклонений опытных значений концентраций, приведенных на рис. 36, и концентраций, получаемых при численном интегрировании дифференциальных уравнений кинетики, соответствующих данному механизму. Определение координат минимума проводилось методом оврагов Гельфанда—Цетлина [47, 109], подробно описанным выше (стр. 101). [c.158]

Волпицелли [249] была также предпринята попытка количественно связать конверсию озона с гидродинамикой слоя методом, численного интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих распределение потока во время цикла пульсации, вместе с уравнением скорости реакции. Первые из упомянутых уравнений основаны на проведенном Волпицелли математическом, анализе, относящемся л началу фонтанирования (см. главу 2), Результаты расчета хорошо согласуются с экспериментальными данньши некоторое превышение рассчитанных величин происходило, возможно, из-за не вполне обоснованного допущения (необходимого для расчета распределения потока) о том, что плотный слой, окружающий полость, ведет себя как изотропный, в течение всего цикла пульсации. [c.242]

Вычисление критической угловой скорости сводится к определению прогибов вала. Если последний имеет переменное поперечное сечение, то прогибы могут определяться при помощи универсаль-1ЮГ0 уравнения упругой линии для ступенчатой балки, численным интегрированием дифференциального уравнения упругой линии. [c.215]

Методом нелинейных оценок с численным интегрированием дифференциальных уравнений и нахождением 2[Св—Св( ь 2. з, 4)] были подобраны константы к, обеспечиваюшие минимум остаточной суммы квадратов [c.153]

Оппоков Г. В. Численное интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных. М., ГТТИ, 1932. [c.131]

Бивертон и Холт проделали большую работу, обобщив полученные результаты для более сложных структур популяций промысловых рыб, а также для некоторых нестационарных режимов эксплуатации. Попытки введения в модель переменной смертности или зависимости темпа роста от кормовых условий привели или к получению настолько громоздких формул, что практическое использование их становилось невозможным, или заставляло обращаться к численным методам решения дифференциальных уравнений. Последний путь по существу равносилен переходу от непрерывно-непрерывной модели к дискретно-непрерывной, так как все методы численного интегрирования дифференциальных уравнений основаны на замене производных отношениями конечных приращений. [c.25]

Задача развития гидродинамического пограничного слоя решена для изотермического течения и уже рассмотрена в гл. 12. Задача одновременного развития гидродинамического и температурного слоев изучена Кейсом [81]. Его подход заключался в использовании результатов Лангхаара, относяш ихся к развитию профиля скоростей, при численном интегрировании дифференциального уравнения энергии. Он получил решения, ограничиваясь жидкостями с Рг = 0,7 для условий постоянной температуры стенки, однородного потока тепла со стенки и постоянной разности температур между стенкой и жидкостью. [c.314]