Полунепрерывность сверху

Функция S, называемая средней энтропией , неотрицательна, аффинна и полунепрерывна сверху на L [c.66]

Неотрицательность s вытекает из аналогичного свойства S, а аффинность — из (3.21). Наконец, s полунепрерывна сверху функцией как inf непрерывных функций а Л 5(алО ). [c.68]

Так как функция s аффинна и полунепрерывна сверху, множество С выпукло и компактно. Поэтому для любых р Е I и и > s p) существуют такие А е и с е R, что [c.70]

Особый интерес представляет случай, когда hr — полунепрерывная сверху функция на I (см. следующую теорему). Это имеет место, если т разделяет траектории (см. предложение 6.5(Ь)). [c.144]

Пусть энтропия hr конечна и полунепрерывна сверху на I. Тогда [c.144]

Из полунепрерывности сверху энтропии hr следует, что 1а ф 0, а доказательство утверждения (с) совпадает с доказательством соответствующего утверждения теоремы 3.12. Из доказательства теоремы 3.12 видно, что 1а = 1 а- Следовательно, множество D = D является массивным в что доказывает утверждение (Ь). [c.144]

Пусть энтропия кг конечна и полунепрерывна сверху. Тогда для любых А ,(т 1 и е>0 существуют такие А п а 7д/, что [c.145]

В различных случаях можно доказать, что энтропия h полунепрерывна сверху (в слабой топологии на пространстве мер) и что верхняя грань в определении Р А) достигается на некоторой мере, которая называется равновесной мерой (см. гл. 3, а также Боуэн [6]). [c.207]

Если энтропия h полунепрерывна сверху на 1,а д — полунепрерывная функция на X, то [c.250]

Обозначим через X множество /-инвариантных вероятностных мер на X, снабженное слабой топологией (при этом X оказывается компактом). Если р X, то энтропия h p) может принимать любые значения от до нуля до бесконечности. Функция /г(-) — аффинная, и если / разделяет точки, то энтропия /г(-) конечна и полунепрерывна сверху (см. Уолтерс [2] и гл. 6). Заметим, что построение проективного предела позволяет перейти от непрерывного разделяющего точки отображения к гомеоморфизму с тем же свойством, т. е. такому гомеоморфизму /, что если d(f x, f y) < е при всех к е Z, то х = у. [c.251]

Если энтропия h, определенная на J, конечна и полунепрерывна сверху, а функция д на X неотрицательна и также полунепрерывна сверху, то формула [c.252]

Для доказательства заметим, что функция р /о(1п5) является пределом убывающей последовательности непрерывных функций р р(А ). Поэтому она полунепрерывна сверху, так что функция (9.4) также полунепрерывна сверху. Поскольку [c.252]

Функция / на топологическом пространстве Е со значениями в RlJ —оо называется полунепрерывной сверху, еслп для любых х е Е и а > f x) существует такая окрестность точки х, что [c.254]

Если для исходной задачи упорядочения альтернатив ОФХТС (6.104) множество X компактно, функция полезности ф непрерывна, а (J. (х) полунепрерывна сверху на X, тогда для всех значений [c.284]

Функция h I J +oo является аффинной и называется метриче-екой энтропией. Если т разделяет траектории, то h конечна и полунепрерывна сверху на множестве I (относительно -слабой топологии). [c.23]

Теорема 2. Пpeдnoлoжu , что функция h конечна и полунепрерывна сверху на множестве I относительно -слабой топологии). Тогда [c.24]

Неравенства (3.31) и (3.35) доказывают (3.30) в случае, когда А = = Аф, Ф е 0. Так как обе чаети (3.30) непрерывны по А, то в силу плотности множества Аф Ф s o это соотношение справедливо при всех А е Кроме того, энтропия s(ij) полунепрерывности сверху, откуда следует, что sup в (3.30) достигается и имеет место соотношение (3.28). Докажем теперь (3.29). Из (3.28) мы уже знаем, что [c.70]

Предложение 9.7 (построение д, непрерывного в периодических точках). Если J, . .., Jn) — образующее разбиение и S — множество периодических точек, то можно так выбрать X, /, д), разбиение (Ji,. .., Jn) и сохраняющее порядок сюръективное непрерывное отображение тг X X, что Ji = n J при г = 1,. .., N, п о f = fon, э(0 = 9I 0 P Ф 9 непрерывно на множестве n S. Разбиение (Ji,. .., Jn), вообще говоря, не является образующим. При отображении п прообразы точек некоторого счетного множества двухточечны, а nj)oo6pa3bi остальных точек одноточечны. Кроме того, энтропия h любой f-инвариантной вероятностной меры удовлетворяет соотношению h = = hon, вследствие чего h полунепрерывна сверху. [c.220]

Случай В (образующее марковское разбиение, д 0). Здесь и в дальнейшем марковость означает, что / Jj = X при г = 1,. .., 7V. С помощью предложения 9.7 мы строим систему (X, /, д), где функция д непрерывна в периодических точках. Заметим, что X — канторово множество и, значит, X — тоже канторово множество. Пусть д — наименьшая полунепрерывная сверху функция, удовлетворяющая условию д д. Тогда разность д — д обращается в нуль вне некоторого счетного множества, не содержащего [c.246]

При доказательстве теоремы 9.21 мы свели общий случай к случаю системы X, /, д) (см. пункт (Ь) доказательства упомянутой теоремы), в которой hiig полунепрерывны сверху. В этой ситуации множество [c.250]

ПоЕмтие давления пришло из статистической механики, см. Рюэль [4] имеется другое определение давления, его эквивалентность приведенной выше формуле доказана Уолтерсом [2]. Мера р I, для которой h p) + р А) = = Р А), называется равновесным состоянием. Если, в частности, функция h[-) полунепрерывна сверху, то для А существует по крайней мере одно равновесное состояние. [c.252]

Нижняя грань семейства непрерывных действительных фунЕсций на пространстве Е полунепрерывна сверху. Если пространство Е компактно и функция / полунепрерывна сверху, то существует точка х Е, для которой [c.254]

ТаЕсим образом, на компактном множестве всякая полунепрерывная сверху функция достигает своего максимума. [c.254]

Рассмотрим корректную постановку задачи (Г)-(4) при использовании рехуляризации. Будем предполагать, что f(x,u) -кусочно-гладкая тпщия, определенная в гильбертовом пространстве G U е и, где и - выпуклое замкнутое множество п 6G функционал s(u) - полунепрерывный сверху, выпуклый на и. Тогда в качестве регуляризатора можно использовать любой слабоподогнепрерывный,равномерно-выпуклый функционал Q(u) [c.125]

В конечномерном случае существование элемента х D следует из теоремы Вейерштрасса непрерывная функция, определенная на замкнутом, ограниченном (компактном в себе) множестве достигает на нем как верхней, так и нижней грани. Так как нас интересует только верхняя грань, то требование непрерывности можно несколько ослабить, заменив его требованием полунепре-рывности сверху. Функция / полунепрерывна сверху в точке ж = X , если для любого е > О существует такая Ь-окрестностъ. точки х , что [c.57]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология