Задача о брахистохроне

Этот короткий рассказ можно начать с задачи о брахистохроне. Ее автором является Яков Бернулли, а решил ее, согласно математическому фольклору, сам Ньютон, отвлекшись на один вечер от повседневных забот директора монетного двора. В задаче требуется найти форму кривой скорейшего спуска в вертикальной плоскости, предполагая, что по этой кривой скользит без трения тяжелая точка. Метод, которым воспользовался Ньютон, оказался применимым к обширному кругу задач и положил начало вариационному исчислению и теории оптимального управления. Для нас, однако, важно, что Ньютон свел задачу о брахистохроне к решению некоторого дифференциального уравнения. Возникла ситуация, которую можно описать следующим образом. Были обнаружены задачи об оптимальном выборе функции, эквивалентные задачам о решении системы дифференциальных уравнений. Если основным объектом исследования являются дифференциальные уравнения (или их системы), то полезно помнить, что может существовать эквивалентная оптимизационная задача. Так, Лагранж показал, что в отсутствие трения все уравнения механики можно свести к одному типу оптимизационных задач. Это открытие получило название принципа наименьшего действия. Впоследствии данный принцип был распространен на уравнения Максвелла и на многие другие разделы физики. Таким образом, мы столкнулись с еще одним классом двуликих задач. [c.137]

Одной из первых задач, рассмотренных в вариационном исчислении, была задача о брахистохроне. В этой задаче приходится отыскивать оптимальную траекторию, идущую из заданного начального положения в заданное конечное положение. [c.143]

СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О БРАХИСТОХРОНЕ [c.161]

Рассмотрим несколько различных способов решения задач типа задачи о брахистохроне. [c.161]

КОЙ, как уравнение (6) разд. 24. В этой задаче производные .г/с//и не могут меняться так свободно, как в задаче о брахистохроне. Мы можем использовать только некоторые направления. В частности, при этом из каждой точки можно идти только по двум направлениям. Хотя в принципе допустимо большее число возможных направлений из каждого узлового состояния, на практике с точки зрения проведения расчетов это сильно усложнило бы выкладки. В задаче о периодической реакции для оптимизации пришлось отыскивать давление, при котором изменение состава при переходе из одного узла сетки в соседние по каждому из двух выбранных направлений осуществляется за минимальное время. Оптимизация, таким образом, проводится, с одной стороны, по давлению и, с другой стороны, по наклону траекторий. Если сетка выбрана достаточно мелкой, истинная минимальная траектория аппроксимируется кусочно-линейной, идущей от узла к узлу вдоль одного из двух выбранных направлений ). Наибольшее различие между обсуждаемыми здесь непрерывным и дискретным методами состоит в введении сетки с двумя фиксированными углами наклона. [c.162]

В разд. 24 известная задача о брахистохроне решается с помо-ш,ью вариационного исчисления и методом динамического программирования. Задача управления реактором периодического действия по критериюоптимальногобыстродействия решается в разд. 25 с помощью динамического программирования. По своему типу эта задача близка к задаче о брахистохроне. Различные пути решения задачи о брахистохроне сравниваются в разд. 26. Вышеизложенное суммируется в разд. 27, где приводится обзор трудностей, встречающихся при изучении вариационных задач, и способов преодоления их в динамическом программировании. [c.99]

В периодических реакциях часто требуется переводить химическую систему из заданного начального состояния в конечное за минимальное время при известных начальных условиях. Эта задача относится к более общему классу брахистохронных задач ), которые широко изучены в вариационном исчислении. В этом разделе дается постановка и рассматривается решение этой задачи методом динамического программирования. С помощью этого решения можно разработать программу для управляющего вычислительного устройства с тем, чтобы обеспечить протекание процесса за минимальное время. Ниже указан класс задач, для исследования которых также применяется этот метод. Отмечены и некоторые преимущества метода динамического программирования по сравнению с вариационным исчислением. [c.147]

Экман, Левковиц и их сотрудники в Технологическом институте Кейса опубликовали ряд работ по вопросам управления периодическим процессом гидрогенизации с помощью вычислительных устройств [35, 36, 38, 43]. В этих уже ставших классическими работах по управлению для определения минимального времени перехода из начального состояния с известным составом в состояние с конечным составом используется вариационное исчисление. Рассматривая задачу как задачу о брахистохроне, эти авторы нашли минимальное время и зависимость давление — состав — время для систем, аналогичных тем, которые описаны уравнением (1). [c.160]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология