Вариационное исчисление

Таким образом, несмотря на относительную простоту формального математического аппарата вариационного исчисления, использование его для решения практических задач связано с преодолением значительных вычислительных трудностей, обусловленных, в основном, необходимостью решения краевых задач для нелинейных диф -ференциальных уравнений. Попыткой избежать этих трудностей и являются прямые методы решения вариационных задач, некоторые из которых приведены ниже. [c.220]

Интеграл д и его экстремум определяются через зависимость переменной У/ от времени. Известно, что интеграл обнаруживает экстремум только при одном определенном значении функции. Определение функции, которая дает экстремум является задачей вариационного исчисления, причем установлено [20], что искомой функции удовлетворяет дифференциальное уравнение Эйлера [c.353]

В задачах вариационного исчисления (стр. 202) недостаток граничных условий восполнялся условиями трансверсальности, число которых равнялось числу недостающих граничных условий для уравнения Эйлера. Аналогичные условия трансверсальности можно иолу ить и при использовании принципа максимума. Рассмотрим [c.339]

Рассмотрим систему, которая удовлетворяет требованию (9-2). Мысленно переместим ее на бесконечно малое расстояние бг (которое поэтому и названо возможным передвижением и которое, чтобы его можно было отличить от действительного передвижения г, обозначено символом б, принятым в вариационном исчислении). Тогда произведение действующих на систему сил и этого возможного передвижения будет величиной с размерностью энергии [c.123]

В простейших случаях, когда целевая функция задана аналитически, используют классические методы нахождения экстремума методами дифференциального исчисления. При наличии ограничений типа равенств, наложенных на независимые переменные, используют метод множителей Лагранжа. В более сложных случаях, когда критерий оптимальности представлен в виде функционалов, используют методы вариационного исчисления-, при оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений, применяют принцип максимума Понтрягина. Используют также динамическое, линейное программирование и другие методы оптимизации. [c.38]

Следует также отметить, что множители Лагранжа часто применяют и в других методах оптимизации в качестве вспомогательного средства, позволяющего упростить решение более сложных задач (подробно см. главы, посвященные изложению вариационного исчисления и динамического программирования). [c.139]

Оптимальные задачи, когда решение представляется ие как совокупность значений конечного числа переменных, а как совокупность функций, вид которых заранее ие известен, и составляют предмет изучения специального раздела математики — вариационного исчисления. [c.191]

Таким образом, эти два класса процессов — нестационарные и с распределенными параметрами — и составляют область применения методов вариационного исчисления в химической технологии. [c.195]

Расчеты оптимальных условий проводятся математическими методами (вариационное исчисление, динамическое программирование, принцип максимума Понтрягина) или часто различными методами направленного поиска [c.69]

Вычислительные аспекты вариационного исчисления [c.213]

Таким образом, даже тогда, когда уравнение Эйлера существует и можно найти его общий интеграл, зто еще не означает, что получено решение исходной оптимальной задачи. Лишь относительно узкий круг задач с достаточно гладкими решениями и хорошими ограничениями позволяет успешно применять методы вариационного исчисления. В остальных же случаях более эффективными оказываются такие методы, как динамическое программирование и принцип максимума. [c.243]

Этот метод называется динамической оптимизацией. Математический аппарат для изучения такой системы обычно включает вариационное исчисление, чтобы получить для каждой [c.119]

На первый взгляд представляется, что необходимым условие(м является обеспечение максимальной суммарной скорости реакции (т. е. разности прямой и обратной скорости) в любом поперечном сечении. Это условие было получено автором [4] методами вариационного исчисления, однако доктор Хоря предложил более простое решение 2. [c.142]

Очевидно, задача состоит в. нахождении минимума V при фиксированных значениях N и г па выходе из реактора. Для этого необходимо минимизировать интеграл, что достигается методом вариационного исчисления. Только в простейшем случае, рассмотренном в предыдущем параграфе, минимизация интеграла может быть сведена к максимизации г в зависимости от температуры. В более сложных реакциях, когда г является функцией как состава, так и температуры, необходимо воспользоваться более сложным вариационным методом. [c.150]

Величина критерия оптимальности и зависит от всего температурного профиля Т (<), т. е. является функционалом от функции Т (О- Отыскание функции, приводящей заданный функционал к максимуму, является основной задачей вариационного исчисления, на основе которого и должна решаться поставленная в этом разделю задача. [c.369]

При решении задачи распределения с учетом быстрого изменения активности катализатора необходимо иметь в виду зависимость константы скорости реакции от времени. Это приводит к изменению задачи оптимизации, которая может быть сформулирована либо как задача вариационного исчисления, либо как задача, решаемая методом динамического программирования. При этом задача оптимизации решается для случая, когда [c.121]

В книге в доступной форме изложены основы методом оптимизации (классический анализ, вариационное исчисление, принцип максимума, динамическое, линейное и нелинейное программирование) с иллюстрацией их на объектах химической технологии. Сформулированы общие положения, касающиеся выбора критериев о[1ти-мальности химико-технологических процессов, и приведены их математические модели. Рассмотрены задачи, связанные с оптимизацией конкретных процессов. [c.4]

В настоян ее время для решения оптимальных задач применяют в основном следую1цие методы 1) методы исследования функций классического анализа 2) методы, основанные на использовании неопределенных множителей Лагранжа 3) вариационное исчисление 4) динамическое программирование 5) принцип максимума 6) лгшеГнше программирование 7) нелинейное программирование. [c.29]

Методы вариационного исчисления (см. главу V) обычно используют для решения задач, в которых критерии 0птнмал1л10стн представляются в виде ((функционалов (1,27) и решениями которых являются неизвестные функции. Такие задачи возникают обычно при статическо оптимизации процессов с распределенными параметрами или в задачах динамической оптимизации. [c.31]

Основная трудность, возникаюи ая при испо,льзовании методов исследования функций в задачах, включающих больше двух независим],1Х переменных, заключается в сложности проверки условий доста-тс чности и совместности получаемых систем уравиений, определяющих экстремальные значепня критерия оптимальности. Вместе с тем, такие же трудности встречаются и при примеиении Д11угих методов решения оптимальных задач, причем иногда даже в еще более с.лож-ной форме, как, напрпмер, в вариационном исчислении. [c.138]

Пределы интегрирования в соотноигенин (У,7) могут быть известными конечными числами, но возможны также случаи, когаа один или оба предела бесконечны. Кроме того, целый ряд задач вариационною исчисления сводится к рассмотрению функционалов, у которых пределы интегрирования неизвестны. [c.193]

Основная задача вариационного исчисления заключается в от1,1-скапип таких непрерывных функций х (/), которые придают заданному функционалу максимальное или минимальное значение. При этом, как и в обычном анализе, на неизвестные функции, подлежащие определению, могут быть наложены различные ограничивающие условия. [c.193]

В этом разделе рассмотрено решение методами вариационного исчисления задачи расчета оптималыюго температурного профиля в реакторе идеального вытеснения для параллельных реакций первого порядка [c.222]

Вьпле уже брлли рассмотрены трудности, возника[ощие прп решении краевых задач, к которым приводит математический аппарат вариационного исчисления. Однако этим еще не исчерпываются недостатки классического вариационного исчисления. Гораздо более серьезные препятствия на пути решения оптимальной задачи вариационными методами возникают тогда, когда в данной задаче присутствуют ограничения типа неравенств [c.241]

Поскольку решение вариационной задачи связано с получением и решением уравнения Эйлера, которое, в свою очередь, может существовать лишь в том случае, когда отыскиваемая экстремаль допускает свободное двухстороннее варьирование, наличие ограпиче-Н1п1[ (У,260) и (У,261) может привести к тому, что в некоторых случаях вообще невозможно написать данное уравнение. При этом ограничение типа (У,261) еще позволяет иногда использовать аппарат вариационного исчисления иоиском решения в виде функции, п( -разному определенной в ряде интервалов, на которых х ) = л , x t) х или д < X (/) < х , как было сделано ири расчете оптимального температурного профиля в реакторе. При ограничениях же типа (У,260) вариационную задачу даже таким способом в общем случае, ио-видимому, нельзя решить. Это объясняется тем, что при ограничениях типа (У,260) экстремаль функционала может проходить не только внутри дозволенной области, но также частично или нолностью по ее границе. [c.242]

Другое осложнение, с которым можно встретиться при исиоль-зованип агшарата вариационного исчислении, состоит в том, что 1)ешение довольно значительного класса оптимальных задач вооби1,е нельзя представить непрерывными функциями илп функциями с непрерывными производными первого порядка. Простейшим примером такой задачи, в которой решение имеет разрывные производные первого порядка, является задача минимизации функционала [c.242]

Статьи Гоулда с сотр. затрагивают проблему оптимизации управления реактором как нелинейной системы. В работе Бичера и Гоулда обсуждается возможность динамической оптимизации при помощи цифровых машин. Пользуясь методами вариационного исчисления, они вывели систему уравнений Эйлера— Лагранжа, решаемую для определения оптимального пути, по которому должен следовать процесс в реакторе после внесения возмущения. [c.120]

В литературе имеются серьезные работы, посвященные разбору проблемы в целом и ее отдельных частей. Из них особенно заслуживают внимания последние статьи Берга, Келлета с сотр.з- Керна=, ТаборекаЭ- о. Некоторые нз новейших методов оптимизации, основанные на вариационном исчислении , открывают большие возможности, если они могут быть использованы для расчета общего случая. Эти методы находят широкое применение для расчета реакторов и типовых процессов . [c.173]

К ним принадлежит вариационное исчисление, использованное Хорном и Кацем в различных работах. Рассмотрим приводившееся выше уравнение (5.8). [c.150]

В настоящее время нет общего метода решения задач циклической оптимизации. Все используемые алгоритмы основаны на классических понятиях вариации функционала и модифицированного принципа максимума. Наиболее общим и обоснованным является градиентный метод, основанный на вариационном исчислении. Суть этого метода была изложена еще в работе [7]. Задается фиксированная продолжательность периода с и определяется (численно) соответствующее ему оптимальное управление, затем задается другое значение периода и определяется соответствующее ему другое оптимальное управление. После этого сравнивают значения целевых функционалов и с помощью направленного поиска определяются значение оптимального периода. Конечно, такой подход требует больших затрат машинного времени. В работе [72] разработан другой численный алгоритм. Здесь не использовались условия цикличности. Оптимальное управление определялось на достаточно большом отрезке времени с произвольными начальными условиями. [c.292]

Функция Н впервые введена в классическом вариационном исчислении (см., например, [11]) и называется функцией Гамильтона или гамильтонианом. Условие максимума гамильтониана может быть получено и классическими вариационными методами, однако, в отличие от них, метод Веллмана позволяет сделать важный вывод оптимальному решению соответствует наивысшее значение гамиль го-ниана, достижимое в заданной ограниченной области допустимых температур, причем это значение не обязательно должно соответствовать аналитическому максимуму. Другой метод, позволяюпщй дать более строгий вывод условий оптимальности в ограниченной области, предложен Понтрягиным [121. Принцип максимума Понтрягина [c.371]

Методы оптимизации в химической технологии издание 2 (1975) -- [ c.29 , c.32 , c.33 , c.36 ]

Спектральный анализ и его приложения ВЫПУСК 1 (1971) -- [ c.249 ]

Научные основы химической технологии (1970) -- [ c.123 ]

Инженерная химия гетерогенного катализа (1965) -- [ c.243 ]

Динамическое программирование в процессах химической технологии и методы управления (1965) -- [ c.11 , c.13 , c.21 , c.22 , c.25 , c.97 , c.101 , c.310 ]

Спектральный анализ и его приложения Выпуск 1 (1971) -- [ c.249 ]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология