Дифференциальных уравнений системы решение стационарное

До сих пор мы не останавливались на вопросе вычисления производных 5//39, полагая, что они могут быть вычислены точно. Однако при приближенном (численном) интегрировании исходной системы дифференциальных уравнений (3.141) вычисление производных — наиболее тонкое место во всей обратной задаче. Методы вы числения производных можно разделить на две группы. Первая группа — методы универсальные, не связанные со схемой интегрирования. Сюда относится метод конечных разностей (см. разд. 3.5), точность которого не всегда достаточна для успешного проведения минимизации. В работе [108] предлагается для оценки производных использовать план первого порядка в пространстве параметров около точки 0 . Применение этого метода требует, так же как и метод конечных разностей, (р—1) вычисления функции по крайне мере. Пауэлл [118, 119] предложил численный метод оценки градиента, в котором при каждой итерации переоцениваются компоненты лишь в направлении, задаваемом уравнением.(3.171) или G GS = —G h. Здесь 0 — решение уравнения, фиксирующее стационарную точку системы (3.171) h — вектор [t —/ (0 )], i = 1,.... .., N G — вектор 5/(0 )/39 , j = i,. . R. Симплекс-метод [12, 92, 115] не обладает быстрой сходимостью [117, 124], тем не менее он с успехом используется для оценки производных. [c.224]

В связи с тем, что при расчете стационарных режимов работы технологических схем точное решение динамической модели не является необходимым, целесообразно при интегрировании системы дифференциальных уравнений использовать различные временные шаги интегрирования для каждой перемены, что в случае применения метода Эйлера запишется как [c.404]

В приложении к линейным стационарным системам условие устойчивости сводится к тому, что все корни Xi, Xj, 7 характеристического уравнения, полученного по дифференциальному уравнению этой системы, имели отрицательные вещественные части или, что одно и то же, располагались на комплексной плоскости слева от мнимой оси. При выполнении условия устойчивости линейная система будет устойчива асимптотически, что непосредственно следует из решения ее дифференциального уравнения. Это решение у (t), определяющее значение регулируемой величины в зависимости от времени, является суммой частного решения у, (t) неоднородного дифференциального уравнения и общего решения у , (t) однородного Дифференциального уравнения [c.108]

Когда дело касается динамических характеристик, то накладываются более жесткие ограничения, чем в случае экономической оптимизации. Расчет последней основан на стационарном решении системы дифференциальных уравнений. [c.53]

Отметим, что хотя методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений, описывающих стационарные процессы в аппаратах идеального перемешивания, не вызывают принципиальных сложностей, такое решение достаточно трудоемко. Поэтому иногда может оказаться целесообразным переход к решению нестационарной модели, описываемой дифференциальными уравнениями. Например, вместо решения алгебраической системы (см. табл. П-З) [c.144]

При постоянной температуре теплоносителя Тс распределение концентраций реагентов и температуры по длине реактора определяется решением системы уравнений ( 111.38), ( 111.39) с граничными условиями СДО) = С, д, Т (О) = Т , заданными на входе аппарата, т. е. решением задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Известно, что в случае, когда правые части уравнений зависят от переменных непрерывным образом, задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений всегда имеет единственное решение (см., например, [2]). Более того, это решение всегда устойчиво, так как в реакторе идеального вытеснения возмущение стационарного режима в некотором сечении реактора не влияет на реагирующую смесь в соседних сечениях и любое бесконечно малое возмущение вымывается из реактора за конечное время, не успевая разрастись до макроскопических размеров. Таким образом, всегда имеется единственный устойчивый стационарный режим реактора идеального вытеснения. [c.336]

Особое место среди других занимает метод релаксации, заключающийся в том, что стационарное решение получается в результате решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений материального и теплового балансов. Метод обладает устойчивой сходимостью независимо от сложности задачи, однако по мере приближения к решению скорость сходимости очень низкая. В конкретных случаях иногда удается, исходя из специфики решаемой задачи, все-таки ускорить сходимость [47]. [c.135]

Большинство задач химической технологии в математической формулировке представляется системами уравнений, определяющих взаимосвязь многих факторов, от которых зависит течение процесса. В этой главе рассматривается решение таких задач. Они могут возникнуть при обработке экспериментальных данных, когда устанавливается зависимость между отдельными параметрами (глава XI), при описании массообменных процессов в стационарных условиях (глава X), при решении обыкновенных дифференциальных уравнений конечно-разностными методами (глава XII) и т. п. [c.228]

В первую группу входят методы, которые можно назвать классическими или традиционными в силу того, что они давно (и успешно) применяются Для определения параметров математических моделей линейных объектов. Сюда можно отнести нахождение весовых функций путем непосредственного решения интегрального уравнения свертки, определение параметров дифференциальных уравнений и передаточных функций по экспериментальным функциям отклика системы на входные возмущения стандартного типа (импульсное, ступенчатое, синусоидальное, в виде стационарного случайного сигнала и т. п.), метод моментов и др. [c.286]

Математическое описание моделей для нестационарных условий движения потоков дано в табл. 2.1. Приравнивая нулю производную по времени, можно получить модели для стационарных условий. При этом существенно упрощается и соответствующее математическое описание. Так, для ячеечных моделей вместо системы дифференциальных уравнений описанием будет служить система нелинейных алгебраических уравнений. В общем случае весьма трудно получить аналитическое решение системы уравнений модели. Поэтому при разработке алгоритмов решения используются аппарат передаточных функций и методы вычислительной математики. Эти методы по классам уравнений (дифференциальные в частных производных, обыкновен- [c.84]

Работы же по изучению устойчивости стационарных режимов сложных схем находятся в настоящее время в самой начальной стадии. Связано это с большими трудностями, основными из которых являются следующие. Первая трудность заключается в том, что многие аппараты с. х.-т. с. являются объектами с распределенными параметрами, которые в динамическом режиме описываются системами дифференциальных уравнений в частных производных. Если для обыкновенных дифференциальных уравнений имеется хорошо разработанная общая теория исследования устойчивости стационарных решений, то для дифференциальных уравнений в частных производных такой общей теории пока еще нет. Эта трудность характерна и для задач по изучению устойчивости отдельных аппаратов. [c.229]

При исследовании устойчивости в малом процессов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, обычно используется система уравнений, полученная линеаризацией в окрестности стационарного режима первоначальной нелинейной системы. При этом необходимо решить две задачи 1) найти критерий устойчивости нулевого решения линеаризированной системы 2) показать, при каких условиях из устойчивости нулевого решения линеаризированной системы следует устойчивость стационарного режима первоначальной системы. Ниже обсуждается только первая задача в предположении, что за исключением каких-либо критических случаев, по-видимому, для большинства физических систем при изучении устойчивости в малом достаточно ограничиться исследованием первой задачи. Конечно, это не снимает необходимости строгого решения второй задачи. [c.230]

Обычно необходимо рассчитать стационарный режим при различных значениях управляющих переменных и. Различают два режима расчета системы (II, 6) при изменении переменных и. В первом случае расчет системы (II, 6) проводится для небольшого числа значительно отличающихся одно от другого значений управлений и. Во втором случае проводится многократное решение системы (II, 6) для многих значений вектора и, мало отличающихся одно от другого. Типичный пример такого случая — это решение задачи оптимизации ХТС, когда переменные и меняются в соответствии с некоторой стратегией поиска, и при каждом значении и приходится решать уравнения (И, 6), описывающие стационарный режим схемы. Ко второму случаю сведется также решение систем нелинейных уравнений методом продолжения по параметру, а также решение систем нелинейных уравнений на каждом шаге интегрирования при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений каким-либо неявным методом. Рассмотрим отдельно эти случаи, поскольку учет их специфики может существенно повысить эффективность процедуры расчета системы (И, 6). [c.71]

Инженерный расчет основывается на решении уравнений математической модели. Математическая модель является в определенном смысле аналогом исследуемой системы, и ее свойства должны быть адекватны свойствам системы. Простые модели могут быть представлены алгебраическими уравнениями. Однако для описания динамических свойств объекта чаш,е пользуются дифференциальными уравнениями. Степень сложности модели, оправдываемую содержанием задачи, не всегда легко оценить с первого взгляда. Например, при изучении стационарных состояний казалось бы нет оснований включать время в уравнения. Однако устойчивость или неустойчивость стационарного состояния — это динамическое свойство системы. Поэтому вопросы устойчивости решаются с помощью нестационарных моделей. [c.13]

Полезно напомнить, что стационарное состояние системы с сосредоточенными параметрами — это точка в пространстве состояний, которая определяется решением совокупности алгебраических уравнений, получаемых приравниванием нулю всех производных по времени в обыкновенных дифференциальных уравнениях модели системы. Так, при рассмотрении проточного реактора с перемешиванием стационарное состояние системы, описываемое уравнениями (I, 1) и (I, 3), было определено решением алгебраических уравнений (I, 5). Подобное рассуждение применительно к системам с распределенными параметрами приводит к выводу, что стационарное состояние должно быть функцией положения в пространстве, так как [c.116]

Система с единственным стационарным состоянием для данного размера частиц катализатора может иметь множественные стационарные состояния при уменьшении размера частиц. Точка перехода от единственного решения системы к множественному называется точкой бифуркации. Современная топология занимается обоснованием линеаризации в точках бифуркации обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.246]

Стационарными состояниями (см. главу 1) называются такие состояния динамической системы, при которых она либо не изменяется во времени, либо периодически повторяется. Химические процессы (и химические реакторы) могут иметь не одно, а несколько стационарных состояний, соответствующих одним и тем же значениям параметров. С физической точки зрения наличие у динамической системы нескольких стационарных состояний обусловлено ее нелинейностью. При изменении значений параметров системы дифференциальных уравнений в общем случае изменяются как число, так и устойчивость положений равновесия этой системы. Полное решение задачи устойчивости химического процесса состоит в разбиении пространства параметров его математической модели на области, различающиеся по числу и типу устойчивости положения равновесия [33]. [c.225]

Описание состояния части][ц>1 (или системы частиц) в квантовой механике выполняется с помощью волновой функции Ф. Стационарные, т. е. не изменяющиеся во времени, состояния (состояния с постоянной энергией) описываются координатной функцией В оптике волновая функция находится как решение дифференциального уравнения волны. Аналогично в квантовой механике существует дифференциальное уравнение для волн де Бройля, ш которого находят Ф или. [c.11]

Нами были построены модели ряда химико-технологических процессов, протекающих в аппаратах идеального смешения, в которых параметры во всех точках считаются равными между собой и одинаково меняющимися во времени (независимая переменная — время). Мы моделировали также стационарные процессы тепло-и массопередачи в системах, в которых изменение параметров в каком-то одном направлении намного значительнее, чем в остальных. Исключая из рассмотрения время и ограничиваясь решением одномерной задачи, мы могли с достаточной точностью описать такой процесс обыкновенными дифференциальными уравнениями, в которых независимой переменной является пространственная координата. [c.220]

Если точка неустойчивости еще не достигнута, то стационарное состояние устойчиво и частоты нормальных мод комплексны (этот случай схематически изображен на рис. 9.2). По общепринятой терминологии, мы имеем дело с устойчивым фокусом . Выше предельной точки стационарное состояние неустойчиво и возникает стационарный периодический процесс, называемый предельным циклом. В этом случае система из любого состояния приближается со временем к такому периодическому решению, характеристики которого — период и амплитуда — определяются однозначно самим нелинейным дифференциальным уравнением ). [c.220]

Во второй из указанных выше ситуаций предполагается, что оператор Гамильтона явно зависит от времени, причем эта зависимость появляется в некоторый момент времени f = / , например = -оо или О, когда включается взаимодействие рассматриваемой системы с внешним полем. До включения взаимодействия квантовая система, как правило, предполагается находящейся в одном из стационарных состояний, отвечающих гамильтониану без взаимодействия. Эта ситуация примерно та же, что и рассмотренная в 3 при анализе взаимодействия с электромагнитным полем, однако здесь зависящая от времени часть оператора Гамильтона, т.е. V(r, t), уже не предполагается малой. Как и при рассмотрении временной теории возмущений, волновую функцию можно представить в виде (1), но теперь уже с коэффициентами с., зависящими от времени. Далее можно получить систему дифференциальных уравнений для этих коэффициентов и искать ее решения тем или иным методом. [c.176]

Рис. 2.41 иллюстрирует технику решения системы из двух дифференциальных уравнений Ван-дер-Поля и представление решения в виде фазового портрета колебаний, которые описывает рассматриваемая система уравнений, а также временных зависимостей решения. Эта система уравнений описывает типичную нелинейную систему второго порядка. Степень нелинейности задается параметром, в зависимости от значения которого можно получить затухающие, стационарные или нарастающие по амплитуде колебания. Отличие фазового портрета от эллипса указывает на степень нелинейности системы. [c.98]

N. Единственное стационарное решение, Р = О, отвечает Р(0, 0) = 1 и всо остальные Р = 0. Иными словами, оба вида должны вымереть. Сопоставление с дифференциальными уравнениями Лотка — Вольтерра раскрывает смысл этого результата. Мы видели, что замкнутые фазовые траектории, охватывающие центр, могут изменяться при любых флуктуациях — система переходит с одной траектории иа другую при изменении начальных условий. Если зайцы случайно вымерли, то рыси не смогут выжить и Л/ = = N = О есть единственное стационарное состояние. В природе зайцы могут укрываться от рысей или убегать от них в другие районы. [c.511]

При решении дифференциальных уравнений получается система алгебраических уравнений с величинами стационарных концентраций [М]ст и [С] [c.779]

Для решения вопроса, является ли стационарное состояние устойчивым, надо произвести в системе небольшое возмущение — немного изменить величины Хо и Уо, добавив к ним члены, зависящие от времени t, так что A = Xo+ i( f) и У=Уо+У1(/), причем Xq>X и Уо У1. Подстановка возмущенных значений СиУвкине-тические уравнения приводит к линейной системе дифференциальных уравнений, частные решения которой имеют вид функций, содержащих время в показателе, где и — коэффициенты [c.330]

Это сложная система нелинейных дифференциальных уравнений. Сначала найдем стационарное решение х = onst, у = onst, то есть dx/dt = О, dy/dt = 0. Система дифференциальных уравнений при этом сводится к алгебраическим [c.171]

При изучении кинетики и механизмов функциоиироваиия биологических систем широко используются релаксационные методы, основанные и а анализе динамики переходных процессов, происходящих при отклонении изучаемого объекта от равновесного или стационарного состояния. Если возмущающее воздействие невелико и соответственно невелико вызываемое этим воздействием отклонение объекта от исходного состояния, то процесс перехода к новому состоянию может быть описан системой линейных дифференциальных уравнений. Их решением является некоторая совокупность затухающих экспонент [c.293]

Безуспешные попытки рассчитать самые сложные и, вероятно, наиболее важные проекты, с одной стороны, и наличие крупных и быстродействующих вычислительных машин, с другой, привели к развитию методов дифференциальных уравнений или подходу к проблеме с точки зрения неустановившихся режи- мовзо. 31 Эквивалентным является метод определения переходного режима колонны от момента ее запуска до достижения состояния равновесия з решением системы конечноразностных уравнений (по одному для каждой тарелки колонны). Стационарный результат представляет собой условие работы колонны, необходимое для расчета. Несмотря на громоздкость, этот метод может с успехом применяться во многих случаях, которые невозможно решить ни одним из алгебраических методов путем последовательного приближения. [c.175]

Метод принципа максимума для сложвцх процессов значительно экономнее метода динамического программирования. На основе данного метода удается создать общий подход к решет нию задач оптимизации стационарных и нестационарных каталитических процессов. Этот метод заключается в решении краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и определении оптимального управления на каждом шаге интегрирования исходя из условия максимума некоторой функции Решение состоит в выборе некоторых начальных условий и их дальнейшего уточнения для нахождения оптимального режима. Указанная процедура позволяет разработать эффективный численный метод решения краевых задач. [c.495]

Таким образом, мы свели задачу исследования устойчивости стационарных режимов к решению системы двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (VIII.И), (VIII.12). Решение этой системы выражается линейной комбинацией двух экспоненциальных функций и (где Xj, 2 — корни уравнения) [c.327]

Модели табл. 4.4 записаны для нестационарных условий движения потоков. Приравнивая нулю производную по времени, можно получить модели для стационарных условий. При этом существенно упрощается и соответствующее математическое описание. Так, для ячеечных моделей вместо системы дифференциальных уравнений описанием будет система нелинейных алгебраических уравнений. В общем случае весьма трудно получить аналитическое решение системы уравнений модели. Поэтому основными подходами к разработке алгоритмов решения являются аппарат передаточных функций и методы вычислительной математики. Эти методы по классам уравнений (дифференциальным в частных производных, обыкновенным дифференциальным, системам алгебраических уравнений) достаточно разработаны и обычно составляют эиблиотеку стандартных программ для решения задач вычислительной математики. [c.121]

Хотя система уравнений (5.18) имеет несколько необычную форму, она может быть решена с помощью стандартного метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В нашем случае, когда ищут одно стационарное решение, нет необходимости использовать методы интегрирования со специально настраиваемыми параметрами, поскольку глобальная устойчивость и квадратичная сходимость может быть получена и без них. Некоторые исследователи проводили эксперименты с интефаторами относительно высокого порядка, но их опыты подтвердили ранее сделанное предположение о том, что для получения решения достаточно простого явного интефирования методом Эйлера. [c.270]

Как указывалось выше, большинство уравнений математического описания представляют собой дифференциальные уравнения с краевыми условиями, заданными на разных границах слоя катализатора. Вообш,е говоря, решать такие уравнения можно как начальные задачи, подбирая ряд условий на одной границе, чтобы в результате расчета выполнить их на другой. Однако подбор краевых условий ( пристрелка ) связан с значительным числом решений одной задачи и поэтому не всегда целесообразен. Кроме того, описанный метод из-за возможной неустойчивости не всегда позволяет получить решение. Более эффективным методом решения стационарной краевой задачи является переход к сложной нестационарной. Оказывается, что при усложнении исходной системы уравнений нахождение решения в стационарном режиме значительно упрощается. В этом случае трудности, связанные с заданием краевых условий, отпадают, поскольку анализируется переходный процесс одновременно во всем слое катализатора из начального состояния в конечное стационарное, определяемое заданной исходной системой уравнений. При помощи рассмотренного метода удается создать общий подход к использованию численных методов, применение которых не зависит от числа уравнений, входящих в математическое описание встречающихся видов граничных условий, кинетических закономерностей процесса и знания приближенного решения. Помимо этого достигаются простота осуществления алгоритма на вычислительной машине, ограничение объема перерабатываемой информации, быстрая сходимость расчетов и т. п. Решение нестационарных задач дает также возможность рассчитывать переходные режимы и влияние различных возмущений на течение процессов. [c.486]

Рассмотрена задача управления о стабилизации неустойчивого стационарного режима в реакторе с псевдоожиженным слоем катализатора. Обратная связь в виде функционала от решения обеспечивает устойчивость выбранного режима. Циркуляционная модель слоя, состоящая из системы гиперболических уравнений первого порядна с двумя независимыми переменными, аппроксимируется системой обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода ортогональных коллокаций. Интегральные ядра функционала обратной связи находятся методом модального управления. [c.168]

Для решения граничных задач необходимо решить задачу минимизац. на граничных условиях. Так для системы (N+1) - дифференциальных уравнении функция /, которая характеризует степень рассогласования между вычисленными граничными условиями и заданными граничными условиями, зависит от (N+1) неизвестных. При использовании систем реакторных инвариантов функция V)/ зависит только от т<К+1 (т=рГ Во) независимых переменных. Когда т значительно меньше N+1 численное решение (24)-(25) упрощается. Заметим при этом, чго темпера1ура в реакторе также может быть выбрана в качестве одного из юпочевых веществ. В этом случае для определения стационарных профилей концентраций и температуры реакционной смеси в реакторе, необходимо построить функцию V)/, которая зависит от температуры в реакторе и концентраций (т-1) ключевых веществ. Иллюстрации использования реакторных инвариантов будут определены на конкретных примерах. Для упрощения вычислений основное внимание будет уделено одномаршрутной реакции типа А=В. [c.112]

Метод локального потенциала позволяет решать несамосопряженные системы дифференциальных уравнений с помощью приближенных методов вариационного исчисления, который в частном случае самосопряженных уравнений сводится к классическому методу Релея—Ритца. Конечно, существуют и другие методы построения функционалов, дающих стационарное решение заданной несамосопряженной системы дифференциальных уравнений. Для этого строятся лагранжианы, содержащие дополнительные неизвестные функции, не входящие в первоначальные уравнения. Общий обзор таких методов и особенно методов, относящихся, к ассоциированным функциям, дан Шехтером [166] этот автор рассматривает также трудности, которые могут здесь возникнуть. Методы, основанные на ассоциированных функциях, не следует путать с методом локального потенциала. Как мы видели, метод [c.148]

Можно показать, что при S > Е и любом числе промежуточных комплексов приближенная стационарность по-прежнему сохраняется. Все значения F(, отвечаюшие решениям системы неоднородных линейных дифференциальных уравнений, экспоненциально стремятся к стационарным. Приближенная стационарность реализуется вследствие наличия двух шкал времени, отвечающих быстро (Fi) и медленно (5) меняющимся переменным. Малый параметр, характеризующий отношение этих двух ш-кол, есть ES (ср. [12, 13]). [c.363]

Чижек, Корыта и Коутецкий [79, 80], а также Коутецкий и Корыта [154] в общем виде показали, что этим соотношением можно воспользоваться как граничным условием при решении уравнения дифференциальной диффузии для вещества В. При этом получается система дифференциальных уравнений, аналогичная системе для случая необратимых электродных процессов. Таким образом, вышеприведенные работы показали, что скорость химической реакции сказывается только в реакционном слое, в то время как вне этого слоя имеет место равновесие химического процесса (Ь — аа = 0). Этот метод был использован Мацудой, Гурвицом и Гирстом (см. ниже) для решения задачи о влиянии двойного слоя электрода на скорость предшествующей химической реакции. Коутецкий [161 решил уравнения (22) и (26) методом безразмерных параметров. В случае быстрой химической реакции [условие (26)], когда устанавливается стационарное состояние между скоростью химической реакции и диффузией вещества, а о > 1, отношение мгновенного кинетического тока и к диффузионному определяется функцией [c.325]

Таким образом, изучение элементарных актов массопередачи может провбдиться на основе решения системы дифференциальных уравнений гидродинамики и уравнения стационарной конвективной диффузии в прибдижении диффузионного пограничного слоя. [c.78]

В этой работе тепловые теории задержек зажигания сравниваются в условиях экзотермически реагирующей среды, поэтому тепловые и кинетические свойства системы являются определяющими. Решения ищутся в виде функций положения и времени, если среда стационарна, и в виде функций положения вдоль и поперек линий тока, если среда находится в ламинарном движении. В идеальном случае вид решения является явной функцией различных параметров, которая достаточно проста и определенна. Из-за сложного вида дифференциальных уравнений для теплообмена и присутствия в них нелинейных членов, представляющих скорость химической реакции, решение такого строгого вида получить не удается. Поскольку в принципе Б результате численного анализа все же можно получить решение с любой заданной точностью, современные элек- [c.18]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология