Динамическое программирование и Лагранжа метод множителе

В простейших случаях, когда целевая функция задана аналитически, используют классические методы нахождения экстремума методами дифференциального исчисления. При наличии ограничений типа равенств, наложенных на независимые переменные, используют метод множителей Лагранжа. В более сложных случаях, когда критерий оптимальности представлен в виде функционалов, используют методы вариационного исчисления-, при оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений, применяют принцип максимума Понтрягина. Используют также динамическое, линейное программирование и другие методы оптимизации. [c.38]

Модификацией метода простого перебора является метод динамического программирования, сущность которого изложена в разделе 8.2.4. Показано [231, 237], что этот метод чрезвычайно точен, поскольку его применение позволяет рассматривать все возможные решения. Однако к недостаткам указанного метода следует отнести то, что он весьма трудоемок и требует большого объема памяти ЭВМ. В связи с этим рекомендуют [237] комбинировать менее точные, но более простые методы неопределенных множителей Лагранжа и наискорейшего спуска с методом динамического программирования при получении нецелочисленного решения для оптимального вектора состава поэлементного резерва— применять метод неопределенных мно- кителей Лагранжа, при получении целочисленного решения из нецелочисленного округлением — воспользоваться методом динамического программирования. [c.207]

В настоящее время для решения оптимальных задач применяют в основном следующие методы 1) исследование функций классического анализа 2) метод множителей Лагранжа 3) вариационное исчисление 4) динамическое программирование 5) принцип максимума 6) линейное программирование. Однако общего метода, пригодного для решения всех без исключения задач, возникающих на практике, нет. Вместе с тем каждый из перечисленных выше методов имеет предпочтительные области применения. Так, метод динамического программирования наилучшим образом приспособлен для решения задач оптимизации многостадийных процессов. Такие задачи чаще всего возникают при проектировании процессов ООС и СК, осуществляемых либо в многоступенчатых реакторах, либо в каскадах реакторов. Поэтому мы в сжатой форме рассмотрим основные положения метода динамического программирования. [c.191]

Следует также отметить, что множители Лагранжа часто применяют и в других методах оптимизации в качестве вспомогательного средства, позволяющего упростить решение более сложных задач (подробно см. главы, посвященные изложению вариационного исчисления и динамического программирования). [c.139]

Для решения задачи I уровня оптимизации—для определения оптимального варианта поэлементного резервирования — используется метод неопределенных множителей Лагранжа, отличающийся от других возможных методов (наискорейшего спуска, динамического программирования и других) сравнительной простотой реализации на ЭВМ. Для решения задачи II уровня оптимизации— выбора оптимальной величины надежности БТС — применяется метод сканирования по ряду предварительно задаваемых значений надежности системы. Математической моделью, устанавливающей влияние изменений в технологической топологии БТС за счет ввода резервных элементов на величину ее надежности, является параметрический граф надежности (п. г. н.) [c.174]

В настоящее время для решения оптимальных задач применяют в основном следующие методы 1) методы исследования функций классического анализа 2) методы, основанные на использовании неопределенных множителей Лагранжа 3) вариационное исчисление 4) динамическое программирование 5) принцип максимума 6) линейное программирование 7) нелинейное программирование. В последнее время разработан и успешно применяется для решения определенного класса задач метод геометрического программирования (см. главу X). [c.29]

Множители Лагранжа можно применять для решения задач оптимизации объектов с распределенными параметрами и задач динамической оптимизации. Область действия метода значительно расширяется за счет использования множителей Лагранжа в качестве вспомогательного средства, позволяющего упростить решение более сложных задач (например, в вариационном исчислении, динамическом программировании). [c.247]

Следует отметить, что множители Лагранжа используют также в качестве вспомогательного средства и при решении специальными методами задач других классов с ограничениями типа равенств, например, в вариационном исчислении и динамическом программировании. Особенно эффективно применение множителей Лагранжа в методе динамического программирования, где с их [c.31]

Нужно учитывать, что использование множителей Лагранжа в динамическом программировании не всегда позволяет найти решение оптимальной задачи, т. е. не всегда удается так выбрать значение множителя, чтобы выполнялось условие (VI, 60). Получить какие-либо общие условия возможности применения этого метода в достаточно компактной и удобной для проверки форме довольно трудно. Поэтому при практических расчетах вопрос о применимости множителей Лагранжа для конкретной задачи обычно решается методом проб. [c.282]

Таким образом, показано, что результаты, получаемые при применении метода множителей Лагранжа, вариационного исчисления и динамического программирования, можно представить в форме условий принципа максимума. Вместе с тем, соотношения принципа максимума, найденные независимо от этих методов, имеют более общий характер и позволяют решать задачи, которые не могут быть сформулированы в терминах этих методов или требуют специального обоснования возможности их применения. [c.404]

Каждое ограничение добавляет еще одно уравнение и на каждое ограничение вводится один множитель Лагранжа. Следует отметить, что множители Лагранжа используют также в качестве вспомогательного средства и при решении специальными методами задач других классов с ограничениями типа равенств, например, в вариационном исчислении и динамическом программировании. Особенно эффективно применение множителей Лагранжа в методе программирования, где с их. помощью иногда удается снизить размерность, решаемой задачи. [c.144]

Как отмечалось, весьма эффективен расчет по методу динамического программирования с разрывом обратной связи. При этом уравнения связи (П1, 113) используются как ограничения. Применяя метод неопределенных множителей Лагранжа, составляют новую целевую функцию [c.76]

Расчет производится по методу динамического программирования для различных значений неопределенного множителя Лагранжа Я. В результате получают Ф (А.), Хо Ск), Xi %) и т. д., а затем выбирают такое Я, при котором удовлетворяется уравнение связи [c.76]

Для решения этой задачи может быть использован метод динамического программирования или (при условии выпуклости функции Ф) метод неопределенных множителей Лагранжа. [c.159]

Значение суммарной нагрузки хо вводится в устройство либо автоматически непрерывно, либо периодически оператором. В зависимости от вида характеристик агрегатов в вычислительном устройстве могут применяться различные алгоритмы оптимального распределения, основанные на динамическом программировании, методе неопределенных множителей Лагранжа или градиентном методе. В первом случае вычислительное устройство должно представлять собой цифровую вычислительную машину (ЦВМ), во втором и третьем случаях могут быть применены ЦВМ или специализированные аналоговые машины АВМ. Остановимся подробнее на возможностях технической реализации оптимального распределения в зависимости от вида характеристик агрегатов. [c.182]

Наличие ограничений усложняет задачу оптимизации, для ее решения используют более сложные и трудоемкие методы, в том числе метод прямого перебора метод неопределенных множителей Лагранжа градиентные методы (наискорейшего спуска) максимального элемента, динамического программирования, ветвей и границ и др. [c.773]

Задача распределения п сортов хлора по потребителям с учетом указанных ограничений и критерия оптимизации (прибыли) решается методом динамического программирования. Для понижения размерности используется метод неопределенных множителей Лагранжа. [c.88]

Рассматриваемая система считается отказавшей, если в момент отказа работающего элемента -го типа все 5 запасных элементов этого же типа находятся в ремонте. Поставленная задача может решаться двумя способами. Первый из них является параметрическим обобщением метода множителей Лагранжа на случай дискретных переменных 143]. Второй основан на применении метода динамического программирования 130]. Второй способ более общий, может применяться при наличии нескольких линейных ограничений, полностью формализуется и дает приемлемую точность результатов. Наличие этих факторов позволяет применять модель определения оптимального уровня запасов резервных элементов на химических предприятиях различных типов, поэтому выбираем метод решения задачи, основанный на принципах динамического программирования. [c.100]

К каждой задаче с изопериметрическими ограничениями можно обычным способом применить метод динамического программирования. Существо этого метода будет рассмотрено в разд. 19 гл. 5 в связи с методом множителей Лагранжа. [c.163]

Из этого примера видно, что с помощью дифференциальных уравнений и множителей Лагранжа действительно можно решать такие задачи. Вопросы, связанные с возможными трудностями при решении уравнений для различных комбинаций т] и должны быть рассмотрены другими приемами. Именно в связи с этим динамическое программирование оказывается более простым методом. Вместо того чтобы совместно решать большое число уравнений, с помощью динамического программирования можно свести задачу к рассмотрению последовательности функций, зависящих лишь от одной из переменных, описывающих концентрации (см. разд. 2 гл. 3). В методе, использующем дифференциальные уравнения, каждому ограничению соответствуют два уравнения одно—для ограничения, другое—для связанного с ним множителя Лагранжа. В методе динамического программирования каждое ограничение сужает допустимую область и в сущности облегчает решение задачи. [c.199]

Множитель Лагранжа используется в обычных расчетах и вариационном исчислении при решении задач, содержащих ограничения. Его можно применять для решения таких задач также и в динамическом программировании. В динамическом программировании типичной задачей, где можно применить этот метод, является задача, в которой фиксированная величина ресурсов должна быть израсходована за N стадий. [c.218]

Вычислить fk Z) с помощью метода динамического программирования, линейного программирования и с помощью метода множителя Лагранжа. [c.269]

В настоян ее время для решения оптимальных задач применяют в основном следую1цие методы 1) методы исследования функций классического анализа 2) методы, основанные на использовании неопределенных множителей Лагранжа 3) вариационное исчисление 4) динамическое программирование 5) принцип максимума 6) лгшеГнше программирование 7) нелинейное программирование. [c.29]

Как правило, нельзя рекомендовать какой-либо один метод, который можно использовать для решения всех без исключения задач, возникающих на практике. Одни методы в этом отношении являются более общими, другие — менее общими. Наконец, целую группу методов (методы исследования функций классического анализа, метод множителей Лагранжа, нелинейное программирование) иа определенных этапах реикния оптимальной задачи можно применять в сочетании с другими методами, например динамическим программированием и принципом максимума. [c.29]

Препятствием для использования, например, метода неопределенных множителей Лагранжа является наличие ограничений на управляющие воздействия или переменные состояния в форме неравенств. С этим же препятствием приходится сталкиваться при использовании вариационного исчисления, когда в случае ограничений типа неравенств невозможно записать уравнения Эйлера. Наконец, при выводе уравнения Беллмана в динамическом программировании (VI, 146) необходимо допущение о дифференцируе-мости функции /, для которой записывается это уравнение и которая связана с критерием оптимальности процесса, заданным в виде функционала (VII, 545) соотношением [c.404]