Вариационные задачи с ограничениями

Вариационные задачи с ограничениями [c.208]

Рассмотренные выше вычислительные затруднения в получении окончательного решения при отыскании экстремалей функционала (У,48) в значительной степени возрастают при решении вариационных задач с функционалами от нескольких функций (У,117), особенно при наличии ограничений (У,118) или (У,121), когда решение задачи сводится к интегрированию системы нелинейных дифференциальных уравнений с краевыми условиями. [c.220]

При решении вариационных задач классическими методами, как уже отмечалось выше, серьезные, а иногда и непреодолимые трудности возникают в тех случаях, когда отыскиваемые управляющие воздействия не принадлежат к классу непрерывных функций или когда на переменные задачи наложены ограничения типа неравенств. Для решения таких задач иногда с успехом может быть использован метод, сформулированный и доказанный в работах Л. С. Понтрягина и его учеников , который получил название принципа максимума. [c.320]

Удобным численным методом решения вариационных задач является метод локальных вариаций [9], развиваемый в последнее время для решения технических задач. Он отличается от метода кусочно-линейной аппроксимации использованием последовательных приближений при поиске точек экстремали. Поиск начинается с замены экстремали произвольной ломаной, проходящей через краевые точки и удовлетворяющей заданным ограничениям на величины х (т) (начальное приближение). Начальное приближе- [c.214]

Из формулы (IX.54) следует, что в отличие от исследованного ранее случая, когда процесс протекает в кинетической области, гамильтониан Н не возрастает неограниченно с увеличением температуры даже при е < 1. Действительно, при Т со величины а и Ь стремятся к единице и гамильтониан (IX.54) становится отрицательным. Поэтому в рассматриваемом случае всегда существуют ограниченные решения вариационной задачи. Используя кинетические уравнения (IX.50), (IX.51), приводим уравнение для оптимальной температуры (IX.26) к виду [c.379]

Применение классических методов математического анализа и вариационного исчисления для оптимизации химических реакторов наталкивалось на значительные затруднения, связанные с наличием в реальных задачах ограничений на фазовые и управляющие переменные. Аналогичные трудности возникали при постановке оптимальных задач в других областях науки и техники. Это способствовало развитию таких мощных методов, как метод динамического программирования принцип максимума методы нелинейного программирования 2о-22 [c.10]

Рассматриваемые здесь вариационные задачи заключаются в определении формы тел, обладающих минимальным волновым сопротивлением в плоскопараллельном или осесимметричном сверхзвуковом потоке газа, и контуров сопел, реализующих максимальную силу тяги при некоторых ограничениях. Силы, действующие на тела при течениях невязкого газа, определяются давлением на стенки. Величина давления находится из рещения граничных задач для нелинейных уравнений газовой динамики. Такие задачи в настоящее время решаются численно. Нахождение решения вариационных задач со связями в виде уравнений с частными производными приводит к сложным численным процессам. О таком прямом подходе к оптимизации формы тел будет сказано в послесловии к этой главе. Здесь будет рассмотрен подход, который в плоскопараллельном и осесимметричном случаях допускает точную одномерную постановку ряда вариационных задач и их простое решение. [c.45]

В этом разделе рассмотрены такие течения, которые не содержат ударных волн в области, ограниченной контрольным контуром ab . Выведены необходимые условия экстремума. Построены схемы, при которых вариационная задача разрешима. [c.88]

Подробнее вариационные задачи с ограничениями рассмотрены ниже (стр. 220), а сейчас остановимся еще на одном важном ус- ловии правильной постановки оптимальной задачи в терминах вариационного исчисления — задании граничных условий для искомых функций. [c.205]

Таким образом, поставленная оптимальная задача сведена к вариационной задаче с функционалом (ж) и с ограничением (и) неголономного типа. [c.223]

Кроме того, на примере оптимизации реактора изложен подход к решению реальной вариационной задачи с ограничениями типа неравенств. Решение этих задач представляет собой, вообще говоря, весьма сложную проблему. Однако задачу оптимизации реактора идеального вытеснения в данном случае можно решить, если принять во внимание некоторые свойства оптимизируемого [c.234]

Поскольку решение вариационной задачи связано с получением и решением уравнения Эйлера, которое, в свою очередь, может существовать лишь в том случае, когда отыскиваемая экстремаль допускает свободное двустороннее варьирование, наличие ограничений (V, 260) и (V, 261) может привести к тому, что в некоторых случаях вообще невозможно написать данное уравнение. При этом ограничение типа (V, 260) еще позволяет иногда использовать аппарат вариационного исчисления поиском решения в виде функции, по-разному определенной в ряде интервалов, на которых x(t) = xi, x(t) = х2 или xi оптимального температурного профиля в реакторе. При ограничениях же типа (V, 261) вариационную задачу даже таким способом в общем случае, по-видимому, нельзя решить. Это объясняется тем, что при ограничениях типа (V, 261) экстремаль функционала может проходить не только внутри дозволенной области, но также частично или полностью по ее границе. [c.254]

При прямом методе решения вариационных задач минимизацию функционала сводят к минимизации функции многих переменных при помощи специального ограничения класса варьируемых функций м, ( ). Именно эти функции рассматривают как линейным образом зависящие от совокупности коэффициентов а согласно формуле [c.49]

Почти все теоретические исследования многоэлектронных атомов основаны на использовании приближения центрального поля. В этом приближении предполагается, что каждый электрон движется независимо в сферически усредненном поле, образуемом ядром и остальными электронами. Таково было, например, наше исходное предположение при решении вариационной задачи об атоме гелия. В сферически усредненном поле угловые свойства одночастичных волновых функций для индивидуальных электронов должны быть такими же, как в атоме водорода. В рамках тех ограничений, которые позволяют пользоваться волновой функцией независимых частиц, можно приписать орбитали каждого электрона квантовые числа I и т. Для удобства можно также приписывать каждому электрону квантовое число п, хотя квантовое число п водородоподобного атома уже не является правильным квантовым числом для многоэлектронного атома. Однако периодичность химических свойств элементов (см. разд. 7.2) позволяет считать, что п является хорошим приближением к правильному квантовому числу. [c.129]

Поставленная вариационная задача с условным экстремумом является задачей Майера [2], ее можно решить классическими методами. Более общим является метод, основанный на принципе максимума [35], позволяющий вводить ограничения на v, например вида [c.166]

Тогда соответствующая задаче (4.1)-(4.6) исходная вариационная задача в перемещениях с ограничениями в виде равенств (4.2) и неравенств (4.4) имеет вид [14] [c.143]

Используя выражение (24.6), можно строго сформулировать вариационную задачу, решение которой дает оптимальную форму пластинчатого включения. Оптимальная форма определяется из условия минимума энергии (24.6) при дополнительном условии постоянства площади, ограниченной замкнутой кривой у = у(х), т. е. определяется условием [c.218]

При решении вариационных задач часто возникают трудности, связанные с тем, что на переменные наложены ограничения в виде неравенств, или с тем, что отыскиваемые функции X ( ) не являются непрерывными. Для решения таких задач может применяться метод, разработанный Л. С. Понтрягиным и известный под названием принципа максимума. [c.28]

Конечный этап любого процесса оптимизации рассматриваемой волновой функции обычно состоит в решении некоторой вариационной задачи на отыскание стационарного значения с учетом дополнительных ограничений. При этом очень часто условие стационарности можно привести (как в разд. 2.3) к некоторой секулярной проблеме на собственные значения [c.313]

Каждый раз, когда предлагается новый метод решения задачи, совершенно естественно возникает вопрос каково преимущество этого метода по сравнению с обычно применяемыми Ответ на этот вопрос дается в разд. 6, где указаны области применения метода динамического программирования и отмечены его преимущества. С помощью этого метода, в частности, можно решать вариационные задачи с ограничениями типа неравенств, которые раньше игнорировали или не могли решать. Динамическое программирование можно также применять для решения некоторых комбинаторных задач высокой размерности. [c.13]

Динамическое программирование представляет собой не более как средство решения задач, которые могут быть решены и другими способами. Ценность динамического программирования состоит в другом подходе к решению задач. Однако возможности динамического программирования далеко не исчерпываются этим. Оно дает математический аппарат для решения задач, которые раньше не умели решать или игнорировали. Динамическое программирование может быть использовано для решения многих задач вариационного исчисления, которые не решаются с помощью классических методов. В частности, вариационные задачи с ограничениями типа неравенств, решение которых связано со значительными трудностями, очень легко решаются методом динамического про- [c.21]

Кратко опишем содержание этой главы. В разд. 2 рассматривается обычная одномерная вариационная задача. Приводятся общеизвестные положения и сведения из вариационного исчисления (уравнения Эйлера — Лагранжа, вариация, двухточечная граничная задача). В разд. 3 проводится сравнение методов отыскания оптимума с применением вариационного исчисления и дифференциального исчисления. В разд. 4—11 описываются некоторые трудности, возникающие при применении вариационного исчисления. К их числу относятся наличие ограничений, сложность решения двухточечной граничной задачи, линейность, а также наличие негладких функций. В разд. 7 указаны различные пути решения задач при ограничениях типа неравенств. На примере, приведенном в разд. 8, [c.97]

В первом случае длина и радиус выходного сечения сопла оптимального контура определяются в результате численного решения вариационной задачи о нахождении из семейства контуров сопел сопла, реализующего максимальный удельный импульс яри конкретных габаритных ограничениях (заданной длине, заданной площади выходного сечения или заданной площади боковой поверхности). [c.170]

В 2.3 показано, что при условии совершенно свободного выбора пробных функций уравнение Шредингера имеет смысл уравнения Эйлера вариационной задачи. Но на примере вариационного расчета энергии основного состояния атома Li мы убедились, что для получения правильных аппроксимаций решений уравнения Шредингера, верно описывающих физическую реальность, пробные функции нельзя выбирать совершенно произвольно, необходимо учитывать ограничения, налагаемые запретом Паули. Природа, так сказать, не терпит свободного варьирования, она предпочитает варьирование с ограничениями. Пробные функции Хартри—Фока для одноэлектронных орбиталей, строящиеся с учетом принципа Паули и других ограничений, позволяют создать модели молекул, отражающие реальную действительность. [c.54]

Таким образом, даже тогда, когда уравнение Эйлера существует и можно найти его общий интеграл, зто еще не означает, что получено решение исходной оптимальной задачи. Лишь относительно узкий круг задач с достаточно гладкими решениями и хорошими ограничениями позволяет успешно применять методы вариационного исчисления. В остальных же случаях более эффективными оказываются такие методы, как динамическое программирование и принцип максимума. [c.243]

Реальная возможность разработки универсальных алгоритмов численного решения указанных задач появилась лишь в последнее время, главным образом в связи с развитием и теоретическим обоснованием метода конечных элементов [29—34]. Существо этого метода состоит в аппроксимации сплошной среды, которая характеризуется бесконечным числом степеней свободы, совокупностью ограниченного числа подобластей (так называемых конечных элементов), каждая из которых описывается конечным числом степеней свободы. Сплошная среда разбивается воображаемыми линиями или поверхностями на конечное число частей (например, поверхности — на треугольные элементы объемные фигуры — на тетраэдры), в каждой из которых вводятся фиктивные силы, эквивалентные поверхностным напряжениям и распределенные по границам элементов. Разбиение на конечные элементы достигается с помощью вариационного метода, в соответствии с которым минимизируется функционал, математически эквивалентный исходному дифференциальному уравнению. Этот функционал имеет реальный физический смысл и связывается, как правило, с понятием диссипации энергии. [c.11]

Кроме того, на примере оптимизации реактора изложен подход к решению реальной вариационной задачи с ограничениями типа неравенств. Решение этих задач представляет собой, вообще говоря, весьма сложную проблему. Однако задачу оптимизации реактора идеального вытеснения все же можно решить, если принять во внимание некоторые свойства оптимизируемого процесса. К сожалению, и общем случае не представляется возможным указать достаточно удобные методы решения вариационных задач с ограничениями тйпа неравенств. Поэтому для каждого конкретного процесса приходится искать са.мый удобный прием или же решать задачу с помощью других методов, например динамического программирования или принципа максимума, более приспособленных для решения таких адач. [c.222]

Поставленная задача является типичной вариационной задачей. Однако решение ее классическими методами вариационного исчисле-ния затруднено наличием ограничений (1У,139) и (1У,140). Эту задачу можно решить при помощи принципа максимума , о чем подробно сказано в главе VII. Здесь же описано применение методов нелинейного программирования для решения указанной задачи. [c.131]

Отсутствие азимутальной составляющей вектора скорости в рассмотренных вариационных задачах при осевой симметрии является ограничением, которое может, например, снизить силу тяти оптимального сопла. В работах [19, 20] на примере присутствия потенциальной закрутки потока вокруг оси симметрии выведены необходимые условия экстремума и продемонстрировано увеличение силы тяги. Дальнейшие исследования в этом направлении проведены Гудерлеем, Табаком, Брей-тером и Бхутани [21]. Систематическое сравнение оптимальных сопел этого типа выполнено Тилляевой [22]. [c.47]

Из табл. 4.4 видно, что в исходной и двойственной вариационных задачах предварительные и естественные условия экстремальности соответствующих функционалов обладают свойством взаимности. На возможной площадке контакта такими двойственными условиями являются неравенства (4.4) и (4.5). В случае контакта двух деформируемых тел статическое условие (4.5) дополняется условием (4.7) в ограничениях множества и в условиях экстремальности функционалов. Физические соотношения в форме (4.3) позволяют использовать приведенные вариационные постановки контактных задач для нeлинeйньix и анизотропных тел. [c.144]

Решение вариационной задачи (б) по уравнениям (25) может привести не к максимальному, а к ииншлальиоыу значению критерия оптимизации. Избежать этого незхелательного явления мо кет помочь замена переменной интегрирования ( ) на В. Это возможно сделать при предположении, что монотонность оптимальной траектории по В сохраняется и при ограничении (22). Смена переменной интегрирования приведет также к изменению дискретных уравнений (25). [c.359]

Задача управления представляет собой вариационную задачу с незакреплённой правой частью и ограничением в виде равенства. [c.158]

Тем более недопустимо ориентироваться на экстремум только частного показателя эффективности в обычных, общих задачах экономической оптимизации. К этому вопросу мы вернемся еще раз при обсуждении влияния конкретных условий постановки задачи на выражение критерия оптимизации. Пока отметим лишь, что если минимизируется только себестоимость продукции при заданных или ограниченных значениях производительности, качества и капиталовложений либо максимизируется производительность при заданной или ограниченной себестоимости и т. д., то решающим является способ выбора этих заданных или ограничивающих значений неэкстреыизируемых показателей. С одной стороны, так называемый волевой выбор или любой другой, не вытекающий из решения вариационной задачи, приводит к неоптимальному в общем экономическом смысле решению. С другой стороны, если предполагается, что выбор этих заданных значений показателей также представляет собой результат решения более общей задачи оптимизации, но на более высоком (иерархически) уровне, то все равно для такого решения оказывается необходимым соответственно более общий критерий оптимизации, удовлетворяющий указанным выше требованиям. Иными словами, нужен критерий, позволяющий соизмерять экономические последствия всех основных аспектов экономической эффективности. [c.47]

Что же касается однодетерминантного рутановского состояния с п закрытыми и р открытыми оболочками, то, по-видимому, наиболее закрытый гамильтониан Фока (отвечающий с п заполненными оболочками) зависит от спина. Более того, преобразование симметрии, необходимое для того, чтобы оо стала рутаповским детерминантом (т. е. обмен спинов а и р только для 2п электронов), не является изменением рассматриваемой системы. Поэтому никакая не может соответствовать рутановскому состоянию однодетерминантное рутанов-ское состояние с открытой оболочкой не может быть найдено путем решения вариационной задачи без дополнительных ограничений. Может существовать только так называемое неограниченное хартри-фоковское решение. [c.160]

Выше ири записи системы пространственных орбиталеи основного состояния Ма мы учли ограничения двух видов во-первых, при построении электронной конфигурации на одну пространственную орбиталь помеш,аются два электрона (ограничение, обусловленное инвариантностью гамильтониана относительно направления проекции спина электрона), а во-вторых, у трех 2р-функций одинаковы их радиальные части (ограничение, обусловленное пространственной симметрией гамильтониана). В начале 6.1 мы рассматривали случай, когда не учитывается ограничение первого вида возможны также вариационные задачи, в которых не учтены ограничения второго вида. При рассмотрении Г1-ме-тода Годдарда мы встретились с примером задачи, в которой искусственно введено ограничение ортогональности орбиталей. В рассмотренной выше системе орбиталей основного состояния атома Ма радиальные части трех 5-орбиталей должны быть ортогональны, но требовать ортогональности радиальных частей 5-и р-функций нет оснований, так как ортогональность этих функций обеспечивается ортогональностью их угловых частей (вводить множители Лагранжа 0 - не нужно). Вот еще один пример электронная конфигурация ls 2s ЗsЧs 5s 2p Зp 4p 5p Зd °4d атома 2г характеризуется следующим соответствием операторов Фока и радиальных частей волновых функций орбиталей [c.154]

Вьпле уже брлли рассмотрены трудности, возника[ощие прп решении краевых задач, к которым приводит математический аппарат вариационного исчисления. Однако этим еще не исчерпываются недостатки классического вариационного исчисления. Гораздо более серьезные препятствия на пути решения оптимальной задачи вариационными методами возникают тогда, когда в данной задаче присутствуют ограничения типа неравенств [c.241]

Смотреть страницы где упоминается термин Вариационные задачи с ограничениями: [c.138] [c.297] [c.270] [c.366] [c.31]

Смотреть главы в:

Методы оптимизации в химической технологии -> Вариационные задачи с ограничениями

Методы оптимизации в химической технологии издание 2 -> Вариационные задачи с ограничениями

Математическое программирование в задачах химической технологии -> Вариационные задачи с ограничениями

ПОИСК

Справочник химика 21

Химия и химическая технология