Вектор линейно-независимый

Рассмотрим некоторые свойства и связи в матрицах Г и В. Напомним, что рангом матрицы называется максимальное Число линейно-независимых векторов — строк матрицы, и численно ранг матрицы равен порядку ее наивысшего ненулевого минора. Матрица размерности (В х X М) имеет полный ранг, если ее ранг совпадает с минимальным из чисел В, М, т. е. если выполняется условие rg Г = ш п(Д, М), Важнейшее свойство такой матрицы заключается в том, что она сохраняет свой ранг при любых достаточно малых возмущениях, а ее нормальное решение имеет непрерывный характер. Ранг стехиометрической матрицы Г никогда не может быть выше М — I), где [c.130]

Пусть построены п сопряженных направлений (11,20). Согласно доказанному, эти векторы линейно независимы. Следовательно, они образуют базис в п-мерном пространстве и любой вектор, в частности, вектор может быть выражен линейно через них [29, с. 581 [c.38]

Поскольку векторы — линейно независимы, то окончательно будем иметь [c.53]

Если формулу (14.2.27) подставить в (14.2.25) и использовать формулы (14.2.30) и (14.2.31), возникнут члены, пропорциональные векторам С,., С ХН и (С -ЩИ. Поскольку эти векторы линейно независимы. [c.425]

Очевидно, что для того или иного механизма не все комбинации векторов, соответствующие той или иной стадии, будут линейно-независимыми [15, 77]. Максимальное число элементов, образующих линейно-независимое под- множество в каждом механизме, как раз и образуют базис многогранника реакций (МР) D 1), определяя его размерность, т. е. dim D(l) = d = N — I. Например, для механизма Г1 d = 1, для Г2 d = 2 и т. д. В целом определение d адекватной модели (3.3) — довольно непростая процедура. [c.124]

Для получения частного и однородного решений в общем случае можно использовать любые линейно независимые ненулевые векторы. Например, для т = 4 начальными условиями могут быть [c.279]

Следовательно, для каждой квадратной симметричной положительно определенной матрицы существует не менее одного множества сопряженных направлений. Сопряженные направления относительно А можно конструировать, исходя из линейно независимых векторов tt , U-,. .., и в R на основе метода ортогонализации. Если = и [c.206]

Пусть Хд = / " — начальная точка данного этапа и имеются п линейно независимых векторов Л, . .., А . Тогда ищется 9 , такая, что [c.207]

Линейная независимость сопряженных векторов. Пусть векторы (11,20) сопряженные. Докажем, что они линейно независимы. Действительно, предположим обратное, что они линейно зависимы, т. е. что найдется такая совокупность чисел Сд, с ,. . ., i, что [c.37]

Пусть теперь построены га сопряженных направлений Рн Рп-1 И найдена точка х на последнем направлении. Поскольку векторы р ,. линейно независимы, они об- [c.39]

Рассмотрим построение вектора В соответствии с (11,24) он должен быть ортогонален п векторам уд,. . г/ 1. Поскольку в общем случае (если векторы уд,. . г/ 1 линейно независимы) невозможно в п-мерном пространстве построить нулевой вектор, ортогональный п векторам [29, с. 2261, при построении вектора можно пойти двумя путями. В первом случае можно отбросить условие (р , г/д) = О и потребовать, чтобы выполнялись условия (Рп, г/,) = О (I = 1,, , , , тг — 1). При построении вектора в свою очередь, отбросится условие (рп+1, г/1) = О и т, д. На к-ом шаге (к п) вектор р будет строиться таким образом, чтобы выполнялись соотношения [c.42]

Покажем, что векторы у ,. . г/, 1 линейно независимы и, значит, существует матрица, обратная к В самом деле, [c.44]

На основе описанного построения сопряженных направлений можно получить ряд алгоритмов. Прежде чем перейти к их подробному описанию, заметим, что для неквадратичных функций может не выполняться линейная независимость уо,. . ., Нетрудно показать, что линейная зависимость этих векторов приводит к равенству е,- = О, если определяется с помощью процесса ортогонализации, или к Р,-.]Уг i=0, если р, находится из (П,60), (11,64). [c.45]

Как было показано (см. с. 44), векторы г/о, , г/п-1 линейно независимы. Следовательно, существует обратная матрица Умножая равенство (11,120) на матрицу справа и подставляя [c.62]

Другой способ [64] состоит в построении сопряженных направлений но системе п линейно независимых векторов. Еще один способ дается процедурой [65] [c.104]

Наконец, может быть использована процедура завершающего шага. Кроме того, можно применить другие способы построения сопряженных направлений. Алгоритм, использующий сопряженные направления, которые построены по системе линейно независимых векторов, предложен в работе [64], а алгоритм, использующий (11,268) —(11,269) — в статье [65]. В работе [71] приведен алгоритм, который через каждые п итераций процесса (11,262), (11,281), (11,282) осуществляет параболическую интерполяцию вдоль следующих направлений [c.112]

Метод [24] заключается в следующем. Задается произвольная система п линейно независимых векторов (1 ш началь- [c.122]

Так как направления 1,. . ., линейно независимы, вектор ри (для простоты обозначим его через р) можно представить в виде [c.139]

Без ограничения общности можно считать, что рассматриваемая система химических реакций линейно независима. Это значит, что векторы стехиометрических коэффициентов реакций, или столбцы стехиометрической матрицы [c.33]

Итак, смысл операции (П1,26) состоит в выведении точки xi+ из подпространства Р, образованного векторами (П1,53). Отсюда тоже становится ясно, почему в методе Вольфа не нужна операция (П1,26). Поскольку число линейно независимых векторов v> ] = = 1,. . ., и) в формуле (111,50) будет равно п (если точки х . . ., х не лежат в одной гиперплоскости), то пространство, образованное всевозможными линейными комбинациями [c.42]

При i = п матрицы Yj, St становятся квадратными. Ясно, что векторы S (/ = О, — 1) также являются линейно независимыми (они коллинеарны векторам pj (/ = О, п — 1), отсюда det =/= 0). Из уравнения (11,87) имеем det = det Я det F . Следовательно, det Yn Ф 0, det Я 7 0 и существует обратная матрица Yn а векторы Уо,. .., уп-1 линейно независимы. Умножая равенство (11,87) на и подставляя в полученное выражение значение из (11,37), легко получить равенство (И, 86). Имеет место также следующий результат [32] если —семейство векторов po.---.Pi-i и [c.41]

Hi — неособенная матрица, удовлетворяющая условию (11,32), то для линейной системы (11,20) вектор р , построенный с помощью формулы (11,32), либо является линейно независимым относительно р о , либо точка Xj+i является решением системы (11,20). [c.41]

Остановимся подробнее на первом свойстве. Как было показано выше, из линейной независимости векторов о, следует суще- [c.42]

Можно показать, что сопряженные векторы (III, 11) являются линейно-независимыми [И]. [c.81]

Покажем, что векторы уц, , / -1 линейно независимы и, следовательно, существует матрица, обратная В самом деле, предположим, что у , линейно зависимы, тогда существует такая совокупность С], (/ = 0, I — 1), сд - -+. .. + с 1 =0, что [c.85]

Как было показано (см. с, 85), векторы г/о,, ,,, Уп 1 в этом случае линейно-независимы. Следовательно, существует обратная мат, [c.94]

Матрица в фигурных скобках выражения (IV, 55) представляет собой проекционный оператор [сравните с формулой (111,38)], переводящий векторы из пространства Ер в подпространство, натянутое на векторы столбцов дцч дх матрицы 1 -. Так как, по предположению векторы 5фг/( х, г = 1, р линейно-независимы, т. е. образуют базис в пространстве Е , упомянутый проекционный оператор является тождественным преобразованием [и ( / 7) = 7 ] пространства Е в себя и формула (IV, 55) принимает вид [c.120]

Компоненты собственных векторов линейно независимы. Из (VIII.84)— (VIII.86) следует, что с точностью до некоторого множителя а собственные векторы равны [c.275]

Представим Хх в виде суммы двух произвольных линейно независимых векторов XI = С1Х + СгХр, выбранных таким образом, что они удовлетворяют граничным условиям. В этом случае [c.68]

Для получения частного и однородного решений в общем случае можно дспользовать любые линейно-независимые ненулевые векторы. Например, [c.63]

В соответствии с (11,26) величина (р , г/,) отлична от нуля, отсюда С = 0. Поскольку I было взято произвольно, все = О (1 = О, 1,. . ., 7г — 1), и мы пришли к противоречию, а следова-тельно, векторы р ,. . р линейно независимы. Подчеркнем, что вывод о линейной независимости векторов (11,20) суш ественно использует факт положительной определенности матрицы А-Конечность числа направлений поиска при использовании сопряженных направлений. Докажем вначале, что в точках смены направлений х,- выполняется соотношение [c.38]

В связи с этим может быть предложен следующий алгоритм. На каждой итерации (11,262) = 0, 1,...,п — 1 направленияр,-определяются с помощью формулы (1,41), в которой Я удовлетворяет уравнению (11,118), а вектор у,- — соотношениям (11,124), причем конкретно вектор у,- можно взять в виде (11,132), (11,137), (11,139). Следующая точка на п-ом шаге находится с помощью формулы (11,271). В самом деле, выполнение соотношения (11,124) обеспечивает сопряженность поисковых направлений, а как было показано (см. с. 37), сопряженные направления являются линейно независимыми. Отсюда на п-ож шаге данный алгоритм позволит получить обратную матрицу А . [c.107]

Рассмотрим построение вектора рп. В соответствии с условиями (III, 15) он должен быть ортогонален п векторам у ,. .., уп 1. Поскольку в общем случае (если векторы Уа, уп линейно-независимы) в л-мерном пространстве невозможно построить ненулевой вектор, ортогональный п векторам [56, с. 205], при построении вектора рп можно пойти двумя путями. В первом случае можно отбросить условие (р , i/o) = О и потребовать, чтобы выполнялись условия (р , [c.83]

Это позволяет перейти от одной формы условия остановки к другой ввиду линейной независимости векторов dtpi/dx. Обычно условие шага 4 усиливается требованием достаточной близости точек и Xh и (или) другими условиями. [c.113]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология