Ранг матрицы

Рассмотрим некоторые свойства и связи в матрицах Г и В. Напомним, что рангом матрицы называется максимальное Число линейно-независимых векторов — строк матрицы, и численно ранг матрицы равен порядку ее наивысшего ненулевого минора. Матрица размерности (В х X М) имеет полный ранг, если ее ранг совпадает с минимальным из чисел В, М, т. е. если выполняется условие rg Г = ш п(Д, М), Важнейшее свойство такой матрицы заключается в том, что она сохраняет свой ранг при любых достаточно малых возмущениях, а ее нормальное решение имеет непрерывный характер. Ранг стехиометрической матрицы Г никогда не может быть выше М — I), где [c.130]

Ранг матрицы М обозначается через г, т. е. Я М) = г. Линейная система, состоящая из четырех уравнений тина системы уравнений (7-39), при 4 имеет [c.90]

Понятие и определение ранга матрицы см. [9]. [c.92]

В матричной алгебре показывается, что это имеет место, когда ранг матрицы равен d. Для определения ранга матрицы ее преобразуют так, чтобы часть строк состояла из нулей. Число остальных строк, где не все элементы обратились в нули, равно рангу матрицы. Преобразование матрицы коэффициентов для определения ее ранга можно выполнить по следующим простым правилам. Вначале проводят деление первой строки на vu/vn l. Затем, вычитая из строки / первую строку Vij раз, получают матрицу с нулями в первом столбце [c.103]

В гл. 4 указывалось, что искомое число степеней свободы (т. е. число неизвестных) всегда больше 4, исключая одномерный поток, когда ф = 1 и /с = 1. Так как число неизвестных больше числа уравнений (га > 4), то система неопределенная. В этом случае однородная система уравнений всегда имеет одно из различных тривиальных (/с1 = 2 =. . . = = 0) решений. Число независимых решений, т. е. таких, которые не следуют одно из другого, зависит от ранга матрицы М, состоящей из коэффициентов неизвестных величин [c.90]

М — размерность массы р — давление, кг/(м-сек ), кгс/м , мм вод. ст. или к/л4 р = Р" — уменьшенное число Степеней свободы в уравнениях (7-42)—(7-44) г — радиус в уравнениях (7-8)—(7-10), м г—скорость реакции, моль/ м -ед. времени) г — ранг матрицы в уравнениях (7-42) и (7-46) [c.101]

И так далее. Если, осуществив операции (а) и (б) для всех строк, не получили ни одной строки, все элементы которой равны нулю, все реакции независимы. Если же получено к незначимых строк, то ранг матрицы и число независимых реакций равны (d— й) и й реакций можно исключить из рассмотрения. [c.103]

Поскольку ранг матрицы Г не совпадает с числом неизвестных и по крайней мере на единицу меньше (в случае одного закона сохранения), то система (3.25) должна иметь ненулевое решение [1 ]. Разобьем матрицу Г на клетки, каждая из которых представляет собой строку матрицы ПГл,. . ., В = 0. Перемножение дает систему В матричных уравнений общего вида [c.131]

Ранги матриц Г и Г (i) с очевидностью равны, что следует из (3.30). Используя МНК для серии из п опытов, легко получить значения оценок [c.209]

Ранг матрицы стехиометрических коэффициентов равен двум значит, одно из исходных трех стехиометрических уравнений зависимо и при анализе сложного равновесия следует использовать только две реакции и, соответственно две константы равновесия. [c.100]

Определив методами матричной алгебры ранг матрицы А, для чего она должна быть преобразована в эквивалентную матрицу А [c.200]

Видно, что преобразования (а) и (б) не приведут к появлению незначимой строки следовательно, ранг матрицы и число независимых реакций равно двум, и выбранные реакции независимы. [c.187]

Операции (а) и (б) повторяют последовательно далее для каждой строки после второй. Если осуществив операции (а) и (б) для всех строк, не получим ни одной строки, все элементы которой равны нулю, это означает, что все реакции независимы. Если же из р строк матрицы получено g строк, все элементы которых обратились в нули, то ранг матрицы и число независимых уравнений равны р—д. [c.98]

Подчеркнем, что общее условие независимости простых реакций, так же как и условие независимости линейных уравнений, можно сформулировать следующим образом если при любом выборе постоянной величины / - нельзя добиться того, чтобы = Q ( г не должно быть равно нулю), уравнения независимы. Это общее условие и приводит к тому, что ранг матрицы независимых уравнений равен числу этих уравнений. [c.98]

Если все определители (/ Г + 1)-го порядка, которые можно составить из матрицы стехиометрических коэффициентов, равны нулю, то ненулевой определитель / -го порядка А называется главным определителем, а число К — рангом матрицы. Ранг матрицы стехиометрических коэффициентов и определяет число ключевых веществ Я, достаточное для однозначного описания процесса. Число Я не может превышать меньшего из чисел Л п 3. Предположим сначала, что 5 > / , /Г = Л, и покажем, как можно вычислить скорости образования 5 — Я веществ, не входящих в число ключевых. Совместное решение Я уравнений из системы (11.22) дает [c.66]

Таким образом, матрица констант скорости К подобна симметричной матрице Р. Известно, что собственные числа подобных матриц одинаковы, а собственные числа симметричных матриц действительны. Таким образом, все величины действительны и в рассматриваемой системе реакций первого порядка не может возникнуть колебаний, даже затухающих, и функции С ( ) могут иметь только конечное число экстремумов, не превышающее ранга матрицы констант скорости К- [c.72]

Число линейно-независимых наборов Р стехиометрических чисел равно рангу прямоугольной матрицы а, составленной из величин Согласно уравнению (11.118) (которое в матричной форме записывается как va = 0), ранг матрицы а равен разности между полным числом стадий и рангом матрицы v, т. е. числом линейно независимых неустойчивых веществ. Каждому г-му набору стехиометрических чисел соответствует некоторое суммарное стехиометрическое уравнение, или маршрут реакции. Следует отметить, что, в то время как число независимых маршрутов Р строго определено стехиометрией процесса, их конкретный выбор произволен при этом скорость реакции по каждому маршруту будет зависеть от того, какой набор независимых маршрутов выбран для описания процесса. [c.90]

Систему уравнений (VII.8) можно упростить, сведя ее к меньшему числу уравнений для концентраций ключевых веществ, число которых равно рангу матрицы стехиометрических коэффициентов (см. раздел II.2). [c.276]

На стадии обработки экспериментальных данных, следовательно, прежде всего необходимо вычислить ранг матрицы А. Формально он равен числу линейно независимых столбцов и при точных вычислениях обычно совпадает с рангом нормальной матрицы А А. На самом деле, однако, элементы А А суть скалярные произведения типа [c.446]

Полученные экспериментальные данные используются для нахождения предварительных оценок параметров модели, которые используются для анализа обусловленности системы, определения корреляционных зависимостей параметров и построения плана дополнительного эксперимента. С использованием найденных оценок определяются расчетные значения концентраций компонентов, и находится матрица А. Отметим, что матрица А может быть построена и на основании априорных значений параметров модели, если таковые имеются. Так как точную оценку погрешности е найти трудно, а известна только достаточно широкая область, в которой может быть заключено ее значение, то следует определить е-ранг матрицы (Q (е)) как целочисленную функцию от е в указанной области. Если окажется, что при некотором е матрица А содержит попарно зависимые с точностью до е столбцы, то это означает, что имеются попарно коррелированные между собой параметры. Если коэффициенты линейной зависимости соизмеримы друг с другом, то все параметры коррелированы и не могут быть достаточно надежно оценены раздельно. В первом случае необходимо изменить начальные концентрации тех компонентов, которые существенно входят в линейно зависимые с точностью до е столбцы во втором — для надежной оценки параметров желательно изменить начальные концентрации всех компонентов. Наилучшие условия можно подобрать, максимизируя максимальную величину е, при которой еще сохраняется В (е) = п. [c.451]

Рассмотрим различные случаи решения уравнения (11,102). Случай 1. Ранг матрицы [А ] =т, т. е. m I. Решение системы (II, 102) имеет вид [c.108]

Случай 2. Ранг матрицы [Л ]связь между скоростями элементарных стадий. [c.108]

Теорема 1У-5. Определитель (т—1) порядка подматрицы (т—1) ранга матрицы инциденций (т — число строк этой матрицы), отличный от нуля, отвечает дереву исходного связного графа. [c.124]

Из приведенных выше теорем следует важное утверждение о равенстве ранга графа, определяемого выражением (1У,6), и ранга матрицы инциденций, т. е. [c.125]

Теорема 1Л -6. Ранг матрицы циклов равен числу хорд соответствующего графа, т. е. [c.127]

Если механизм базовый, то в (3.61) к меняется по всем iV, в противном же случае, т. е. для стехиометрически вырожденного механизма к, меняется только для линейно-независимых решений, т. е. до (ЛГ — гg Г1), где гд — ранг матрицы системы (3.60). Обозначая [c.156]

Гпр(дх /) дает матрицу S(pyJf). Вектор-столбец матрицы стехиометрических чисел II называется маршрутом сложной реакции. Ранг матрицы Гпр не может быть выше (Н — Р), с одной стороны (см. (3.18)), и равен ТУ — с другой. Нетрудно видеть, что в этих ограничениях [c.163]

Число ключевых компонентов равно рангу стехиометриче ской матрицы. Ранг матрицы г равен 2. Следовательно можно выбрать два кл ючевых компонента, что достаточ н< для однозначного описания процесса. [c.168]

Далее процедура повторяется для второй строки и т. д. Если, осуществив операции (а) и б) для всех р строк, не получили ни одной строки, все элементы которой равны нулю, все реакции независимы. Если же получено g незначимых строк, то ранг матрицы и число независимых реак1щй равно (р— )> и g реакций можно исключить из рассмотрения. Таким образом, определение числа линейно независимых реакций требует определения коэффициентов V. Это не вызывает затруднений для реакций индивидуальных веществ, но не для превращений технологических групповых компонентов. В последнем случае не обязательно создавать модель процесса, так как значения V,/ можно найти из общих соображений о соотношениях компонентов в ходе процесса. Для иллюстрации этого рассмотрим реакцию каталитического крекинга легкого газойля А, продуктами которой являются бензин А1, таз А2 и кокс Аз- Предположим, что процесс проводится без рециркуляции. При этом можно использовать представления о непревращенном сырье и описать процесс схемами [c.79]

Ранг К новой матрицы стехиометрических коэффициентов v, равный минимальному числу переменных, необходимых для однозначного описания кинетики процесса, согласно уравнению (11.119), не может превышать ранга матрицы а, т. е. числа лИвейно-независи-ных маршрутов. Если величина К меньше чем Р, то независимые переменные, определяющие состояние системы — концентрации ключевых веществ или степени полноты независимых реакций, выбираются так же, как в разделе II. 2. -, [c.91]

Эта оценка единственна, если только ранг матрицы А А равен числу искомых параметров, т. е. размерности вектора х. Квадратичная форма Ф определяет характер поверхности Р, а свободные члены квадратичного функционала, содержащие вектор свободных членов уравнения (XI.15), определяют лишь ее положение. Следстательно, корректность постановки задачи, т. е. обусловленность системы (XI.15), может быть полностью охарактеризована свойствами формы Ф, т. е. обусловленностью матрицы А А. [c.445]

Таким образом, ранг матрицы инциденций всегда равен чпслу ветвей дерева (леса) графа. [c.124]

Доказательство теоремы можно выполнить в два приема. Как уже отме-яалось, дерево (лес) не имеет циклов. Если к дереву добавить одну хорду, то образуется один цикл и соответственно появится столбец в матрице циклов. Убрав первую хорду и добавив новую, получим еще один новый цикл — новый столбец в матрице циклов. Таким образом, каждой хорде будет отвечать независимый столбец в матрице циклов, а общее число независимых столбцов (ранг матрицы) будет по крайней мере не меньше числа хорд. Можно доказать, что ранг матрицы не может быть больше числа хорд, т. е. всегда справедливо соотношение (IV,11). [c.127]

Аналитическая химия Том 2 (2004) -- [ c.2 , c.564 ]

Научные основы химической технологии (1970) -- [ c.90 ]

Равновесия в растворах (1983) -- [ c.0 ]

Программирование и вычислительные методы в химии и химической технологии (1972) -- [ c.231 ]

Введение в моделирование химико технологических процессов Издание 2 (1982) -- [ c.104 ]

Методы кибернетики в химии и химической технологии 1968 (1968) -- [ c.153 , c.154 ]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология